Упр.251 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

не зависит от a и b
Автомобиль проехал от пункта А до пункта В. До пункта С, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из С в В — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования.

Подробный ответ

Докажем, что значение выражения не зависит от $$a$$ и $$b$$:

$$ \frac{\frac{3}{2}a^2-2ab+\frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{9}b^2} +\frac{6b}{\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b} $$

Преобразуем дроби:

$$ \frac{\frac{3}{2}a^2-2ab+\frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{9}b^2} = \frac{18\left(\frac{3}{2}a^2-2ab+\frac{2}{3}b^2\right)}{9a^2-4b^2} = \frac{54a^2-72ab+24b^2}{(3a-2b)(3a+2b)} $$

$$ 54a^2-72ab+24b^2=6(9a^2-12ab+4b^2)=6(3a-2b)^2 $$

Тогда

$$ \frac{54a^2-72ab+24b^2}{(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{6(3a-2b)^2}{(3a-2b)(3a+2b)} = \frac{6(3a-2b)}{3a+2b} $$

Вторая дробь:

$$ \frac{6b}{\frac{3}{4}a+\frac{1}{2}b} = \frac{24b}{3a+2b} $$

Складываем:

$$ \frac{6(3a-2b)}{3a+2b}+\frac{24b}{3a+2b} = \frac{18a-12b+24b}{3a+2b} = \frac{18a+12b}{3a+2b} = \frac{6(3a+2b)}{3a+2b} =6 $$

Следовательно, значение выражения не зависит от $$a$$ и $$b$$.

Найдём среднюю скорость автомобиля. Пусть весь путь равен $$2s$$. Тогда время движения:

$$ t=\frac{s}{60}+\frac{s}{80} $$

Средняя скорость:

$$ v=\frac{2s}{\frac{s}{60}+\frac{s}{80}} =\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{80}} =\frac{2}{\frac{4+3}{240}} =\frac{480}{7}\approx 68{,}6 $$