Упр.249 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите тождество При каких значениях х имеет смысл выражение:

Подробный ответ

а) Рассмотрим выражение
$$\frac{\frac{1}{x-2}+\frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}}.$$
Оно имеет смысл, если знаменатели всех дробей не равны нулю и общий знаменатель не обращается в ноль:
$$x-2\ne 0,\quad x+2\ne 0,\quad x^2-4\ne 0,\quad \frac{3x}{x^2-4}\ne 0.$$
Отсюда получаем:
$$x\ne 2,\quad x\ne -2,\quad x\ne 0.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$
б) Рассмотрим выражение
$$\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}.$$
Оно имеет смысл, если
$$x\ne 0,\quad 1-\frac{1}{x}\ne 0,\quad 1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\ne 0.$$
Из первого и второго условий:
$$x\ne 0,\quad x\ne 1.$$
Проверим третье условие:
$$1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\ne 0 \;\Longleftrightarrow\; 1-\frac{1}{x}\ne 1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{x}\ne 0,$$
что верно при любом $x\ne 0$.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$