Упр.247 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

не зависит от a и b

а) Преобразуем выражение:

$$ ab+\frac{ab}{a+b}\left(\frac{a+b}{a-b}-a-b\right)=ab+\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b-a(a-b)-b(a-b)}{a-b} $$

$$ =ab+\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b-a^2+ab-ab+b^2}{a-b} =ab+\frac{ab(a+b-a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} $$

$$ =ab+\frac{ab\bigl((a+b)+(b-a)(a+b)\bigr)}{(a-b)(a+b)} =ab+\frac{ab(1-a+b)}{a-b} $$

$$ =\frac{ab(a-b)+ab(1-a+b)}{a-b} =\frac{a^2b-ab^2+ab-a^2b+ab^2}{a-b} =\frac{ab}{a-b}. $$

б) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y} $$

$$ =\left(\frac{y(y-x)}{x(x+y)}-xy+y^2\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y} $$

$$ =\left(\frac{y(y-x)-xy(x+y)+y^2(x+y)}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y} $$

$$ =\left(\frac{y(y-x)-x^2y-xy^2+y^2x+y^3}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y} $$

$$ =\left(\frac{y(y-x)-xy(x^2-y^2)}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y} =\left(\frac{y(y-x)(1+x(x+y))}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y} $$

$$ =\frac{y(y-x)(1+x(x+y))}{(x+y)(x-y)}+\frac{y}{x+y} =\frac{-y(1+xy+x^2)}{x+y}+\frac{y}{x+y} $$

$$ =\frac{-y-y^2x-x^2y+y}{x+y} =\frac{-xy(x+y)}{x+y} =-xy. $$

в) Преобразуем:

$$ \left(\frac{1}{(2a-b)^2}+\frac{2}{4a^2-b^2}+\frac{1}{(2a+b)^2}\right)\cdot\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a} $$

$$ =\left(\frac{1}{(2a-b)^2}+\frac{2}{(2a-b)(2a+b)}+\frac{1}{(2a+b)^2}\right)\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a} $$

$$ =\frac{(2a+b)^2+2(2a-b)(2a+b)+(2a-b)^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a} $$

$$ =\frac{4a^2+4ab+b^2+8a^2-2b^2+4a^2-4ab+b^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a} $$

$$ =\frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a} =\frac{a}{(2a-b)^2}. $$

г) Упростим выражение:

$$ \frac{4c^2}{(c-2)^4}:\left(\frac{1}{(c+2)^2}+\frac{1}{(c-2)^2}+\frac{2}{c^2-4}\right) $$

$$ =\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\left(\frac{(c-2)^2+(c+2)^2+2(c-2)(c+2)}{(c-2)^2(c+2)^2}\right) $$

$$ =\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\left(\frac{c^2-4c+4+c^2+4c+4+2(c^2-4)}{(c-2)^2(c+2)^2}\right) $$

$$ =\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\left(\frac{4c^2}{(c-2)^2(c+2)^2}\right) =\frac{4c^2}{(c-2)^4}\cdot\frac{(c-2)^2(c+2)^2}{4c^2} =\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}. $$

Ответ

а) $$\frac{ab}{a-b}$$; б) $$-xy$$; в) $$\frac{a}{(2a-b)^2}$$; г) $$\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}$$.