Упр.246 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом значении $$x$$, большем 2, значение выражения $$\left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$$ является отрицательным числом.
2. Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}$$

$$\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2 = \frac{(x+1)(x+3)+8x-4x(x+3)}{2x(x+3)} = \frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+3)} = \frac{3-3x^2}{2x(x+3)}$$

Тогда
$$\left(\frac{3-3x^2}{2x(x+3)}\right):\frac{x+1}{x+3} = \frac{3-3x^2}{2x(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x+1} = \frac{3(1-x^2)}{2x(x+1)} = -\frac{3(x-1)}{2x}$$

Теперь вычтем вторую дробь:
$$-\frac{3(x-1)}{2x}-\frac{x^2-5x+3}{2x} = \frac{-3x+3-x^2+5x-3}{2x} = \frac{-x^2+2x}{2x} = \frac{x(2-x)}{2x} = \frac{2-x}{2} = 1-\frac{x}{2}$$

Так как $$x>2,$$ то $$\frac{x}{2}>1,$$ значит
$$1-\frac{x}{2}<0.$$
Следовательно, значение выражения при любом $$x>2$$ отрицательно.

Ответ

$$1-\frac{x}{2}<0,$$ при $$x>2$$ выражение является отрицательным числом.