Упр.243 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение: Упростите выражение:

Подробный ответ

а)
$$ab+\frac{ab}{a+b}\left(\frac{a+b}{a-b}-a-b\right)$$
$$=ab+\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b-a(a-b)-b(a-b)}{a-b}$$
$$=ab+\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b-a^2+ab-ab+b^2}{a-b}$$
$$=ab+\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b-a^2+b^2}{a-b}$$
$$=ab+\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{(a+b)(1-a+b)}{a-b}$$
$$=ab+\frac{ab(1-a+b)}{a-b}$$
$$=\frac{ab(a-b)+ab(1-a+b)}{a-b}=\frac{ab}{a-b}$$
б)
$$\left(\frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$$
$$=\left(\frac{y(y-x)}{x(x+y)}-xy+y^2\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$$
$$=\left(\frac{y(y-x)-xy(x+y)+y^2(x^2+xy)}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$$
$$=\left(\frac{y(y-x)-xy(x+y)+y^2(x+y)x}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$$
$$=\left(\frac{y(y-x)\bigl(1+x(x+y)\bigr)}{x(x+y)}\right)\cdot\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}$$
$$=\frac{y(y-x)\bigl(1+x^2+xy\bigr)}{(x+y)(x-y)}+\frac{y}{x+y}$$
$$=-\frac{y\bigl(1+xy+x^2\bigr)}{x+y}+\frac{y}{x+y}=-xy$$
в)
$$\left(\frac{1}{(2a-b)^2}+\frac{2}{4a^2-b^2}+\frac{1}{(2a+b)^2}\right)\cdot\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}$$
$$=\left(\frac{1}{(2a-b)^2}+\frac{2}{(2a-b)(2a+b)}+\frac{1}{(2a+b)^2}\right)\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a}$$
$$=\frac{(2a+b)^2+2(2a-b)(2a+b)+(2a-b)^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a}$$
$$=\frac{(2a+b)^2+2(4a^2-b^2)+(2a-b)^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a}$$
$$=\frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a}=\frac{a}{(2a-b)^2}$$
г)
$$\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\left(\frac{1}{(c+2)^2}+\frac{1}{(c-2)^2}+\frac{2}{c^2-4}\right)$$
$$=\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\left(\frac{1}{(c+2)^2}+\frac{1}{(c-2)^2}+\frac{2}{(c-2)(c+2)}\right)$$
$$=\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\frac{(c-2)^2+(c+2)^2+2(c-2)(c+2)}{(c-2)^2(c+2)^2}$$
$$=\frac{4c^2}{(c-2)^4}:\frac{4c^2}{(c-2)^2(c+2)^2}$$
$$=\frac{4c^2}{(c-2)^4}\cdot\frac{(c-2)^2(c+2)^2}{4c^2}=\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}$$