Упр.241 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом целом а и дробном х значение выражения
(а- (а2 + х2)/(a+x))*(2а/x + 4а(а -х))
является четным числом.

Упростим выражение:

$$\left(a-\frac{a^2+x^2}{a+x}\right)\cdot\left(\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}\right).$$

Преобразуем первую скобку:

$$a-\frac{a^2+x^2}{a+x}=\frac{a(a+x)-a^2-x^2}{a+x}=\frac{ax-x^2}{a+x}=\frac{x(a-x)}{a+x}.$$

Преобразуем вторую скобку:

$$\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}=\frac{2a(a-x)+4ax}{x(a-x)}=\frac{2a(a+x)}{x(a-x)}.$$

Тогда

$$\left(\frac{x(a-x)}{a+x}\right)\cdot\left(\frac{2a(a+x)}{x(a-x)}\right)=2a.$$

Так как $a$ — целое число, то $2a$ делится на $2$, значит, является чётным числом.

Ответ

$$2a$$ — чётное число при любом целом $a$.