Упр.241 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. При каких целых $$n$$ значение дроби является целым числом:
2. Докажите, что при любом целом $$a$$ и дробном $$x$$ значение выражения $$\left(a-\frac{a^2+x^2}{a+x}\right)\left(\frac{2a}{x}+4a(a-x)\right)$$ является чётным числом.

Упростим выражение:

$$\left(a-\frac{a^2+x^2}{a+x}\right)\cdot\left(\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}\right).$$

Преобразуем первую скобку:

$$a-\frac{a^2+x^2}{a+x}=\frac{a(a+x)-a^2-x^2}{a+x}=\frac{ax-x^2}{a+x}=\frac{x(a-x)}{a+x}.$$

Преобразуем вторую скобку:

$$\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}=\frac{2a(a-x)+4ax}{x(a-x)}=\frac{2a(a+x)}{x(a-x)}.$$

Тогда

$$\left(\frac{x(a-x)}{a+x}\right)\cdot\left(\frac{2a(a+x)}{x(a-x)}\right)=2a.$$

Так как $$a$$ — целое число, то $$2a$$ делится на $$2$$, значит, является чётным числом.

Ответ

$$2a$$ — чётное число при любом целом $$a$$.