Упр.238 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Найдите такие значения а и b, при которых выполняется тождество:

1. а) Пусть

   $$\frac{5x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{5x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}.$$

   Тогда

   $$5x=a(x+3)+b(x-2)=x(a+b)+(3a-2b).$$

   Сравниваем коэффициенты:

   $$\begin{cases}a+b=5,\\3a-2b=0.\end{cases}$$

   Из первого уравнения $$a=5-b$$. Подставим во второе:

   $$3(5-b)-2b=0,$$

   $$15-5b=0,$$

   $$b=3,\quad a=2.$$

2. б) Пусть

   $$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}.$$

   Тогда

   $$5x+31=a(x+2)-b(x-5)=x(a-b)+(2a+5b).$$

   Сравниваем коэффициенты:

   $$\begin{cases}a-b=5,\\2a+5b=31.\end{cases}$$

   Из первого уравнения $$a=5+b$$. Подставим во второе:

   $$2(5+b)+5b=31,$$

   $$10+7b=31,$$

   $$b=3,\quad a=8.$$

Ответ

а) $$a=2,\ b=3$$; б) $$a=8,\ b=3$$.