Упр.236 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что тождественно равны выражения Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
Преобразуем левую часть:
$$\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(ax+by)(a+b)-(bx-ay)(a-b)}{(a-b)(a+b)(x+y)}$$
Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{a^2x+abx+aby+b^2y-abx+b^2x+a^2y-aby}{(a-b)(a+b)(x+y)}$$
Сократим подобные слагаемые:
$$\frac{a^2x+a^2y+b^2x+b^2y}{(a-b)(a+b)(x+y)}$$
Вынесем общий множитель:
$$\frac{a^2(x+y)+b^2(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}$$
Сократим на $$x+y$$:
$$\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$
Следовательно, выражения тождественно равны.
Ответ
$$\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$
