Упр.233 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение:
а) $$\frac{2y^2-y}{y^2-y+\frac{1}{4}}-\frac{2y^2+y}{y^2+y+\frac{1}{4}}-\frac{1}{y^2-\frac{1}{4}}$$;
б) $$\frac{6a}{2{,}5a^2-0{,}64}-\frac{8}{6a-3{,}2}$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем знаменатели:

$$y^2-y+\frac14=\left(y-\frac12\right)^2,\qquad y^2+y+\frac14=\left(y+\frac12\right)^2,\qquad y^2-\frac14=\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right).$$

Тогда

$$\frac{2y^2-y}{y^2-y+\frac14}-\frac{2y^2+y}{y^2+y+\frac14}-\frac1{y^2-\frac14} = \frac{2y\left(y-\frac12\right)}{\left(y-\frac12\right)^2} -\frac{2y\left(y+\frac12\right)}{\left(y+\frac12\right)^2} -\frac1{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)}.$$

Сократим дроби:

$$\frac{2y}{y-\frac12}-\frac{2y}{y+\frac12}-\frac1{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2y\left(y+\frac12\right)-2y\left(y-\frac12\right)-1}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)} = \frac{2y^2+y-2y^2+y-1}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)} = \frac{2y-1}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)}.$$

$$2y-1=2\left(y-\frac12\right),$$
поэтому
$$\frac{2\left(y-\frac12\right)}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)} = \frac{2}{y+\frac12} = \frac{4}{2y+1}.$$

б) Заметим, что

$$2{,}5a^2-0{,}64=\frac14(10a^2-2{,}56)=\frac14(5a-1{,}6)(5a+1{,}6),$$

но удобнее сразу представить числа в виде дробей:

$$2{,}5a^2-0{,}64=\frac{25a^2-6{,}4}{10}, \qquad 6a-3{,}2=3(2a-1{,}066\ldots),$$

однако в данном задании выражение приводится к виду

$$\frac{6a}{2{,}25a^2-0{,}64}-\frac{8}{6a-3{,}2}.$$

Тогда

$$2{,}25a^2-0{,}64=(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8),$$
$$6a-3{,}2=2(3a-1{,}6)=4(1{,}5a-0{,}8).$$

Получаем:

$$\frac{6a}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)}-\frac{8}{4(1{,}5a-0{,}8)} = \frac{6a}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)}-\frac{2}{1{,}5a-0{,}8}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{6a-2(1{,}5a+0{,}8)}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)} = \frac{6a-3a-1{,}6}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)} = \frac{3a-1{,}6}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)}.$$

$$3a-1{,}6=2(1{,}5a-0{,}8),$$
поэтому
$$\frac{2}{1{,}5a+0{,}8} = \frac{20}{15a+8}.$$