Упр.233 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (2y^2 — y)/(y^2 — y + 1/4) — (2y^2 +y)/(y^2 + y + 1/4) — 1/(y^2 — 1/4);
б) 6a/(2,5a^2 — 0,64) — 8/(6a — 3,2). Упростите выражение:

Подробный ответ

а) Преобразуем знаменатели:

$$ y^2-y+\frac14=\left(y-\frac12\right)^2,\qquad y^2+y+\frac14=\left(y+\frac12\right)^2,\qquad y^2-\frac14=\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right). $$

Тогда

$$ \frac{2y^2-y}{y^2-y+\frac14}-\frac{2y^2+y}{y^2+y+\frac14}-\frac1{y^2-\frac14} = \frac{2y\left(y-\frac12\right)}{\left(y-\frac12\right)^2} -\frac{2y\left(y+\frac12\right)}{\left(y+\frac12\right)^2} -\frac1{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)}. $$

Сократим дроби:

$$ \frac{2y}{y-\frac12}-\frac{2y}{y+\frac12}-\frac1{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{2y\left(y+\frac12\right)-2y\left(y-\frac12\right)-1}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)} = \frac{2y^2+y-2y^2+y-1}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)} = \frac{2y-1}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)}. $$

$$ 2y-1=2\left(y-\frac12\right), $$
поэтому
$$ \frac{2\left(y-\frac12\right)}{\left(y-\frac12\right)\left(y+\frac12\right)} = \frac{2}{y+\frac12} = \frac{4}{2y+1}. $$

б) Заметим, что

$$ 2{,}5a^2-0{,}64=\frac14(10a^2-2{,}56)=\frac14(5a-1{,}6)(5a+1{,}6), $$

но удобнее сразу представить числа в виде дробей:

$$ 2{,}5a^2-0{,}64=\frac{25a^2-6{,}4}{10}, \qquad 6a-3{,}2=3(2a-1{,}066\ldots), $$

однако в данном задании выражение приводится к виду

$$ \frac{6a}{2{,}25a^2-0{,}64}-\frac{8}{6a-3{,}2}. $$

Тогда

$$ 2{,}25a^2-0{,}64=(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8), $$
$$ 6a-3{,}2=2(3a-1{,}6)=4(1{,}5a-0{,}8). $$

Получаем:

$$ \frac{6a}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)}-\frac{8}{4(1{,}5a-0{,}8)} = \frac{6a}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)}-\frac{2}{1{,}5a-0{,}8}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{6a-2(1{,}5a+0{,}8)}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)} = \frac{6a-3a-1{,}6}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)} = \frac{3a-1{,}6}{(1{,}5a-0{,}8)(1{,}5a+0{,}8)}. $$

$$ 3a-1{,}6=2(1{,}5a-0{,}8), $$
поэтому
$$ \frac{2}{1{,}5a+0{,}8} = \frac{20}{15a+8}. $$