Упр.232 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение: Докажите, что тождественно равны выражения

а)

$$ \frac{mn+1}{m+n}+\frac{mn-1}{m-n} = \frac{(mn+1)(m-n)+(mn-1)(m+n)}{(m+n)(m-n)} $$

$$ = \frac{m^2n-mn^2+m-n+m^2n+mn^2-m-n}{m^2-n^2} = \frac{2m^2n-2n}{m^2-n^2} = \frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2} $$

б)

$$ \frac{x+4a}{3a+3x}-\frac{a-4x}{3a-3x} = \frac{(x+4a)(a-x)-(a-4x)(a+x)}{3(a+x)(a-x)} $$

$$ = \frac{ax-x^2+4a^2-4ax-a^2-ax+4ax+4x^2}{3(a+x)(a-x)} = \frac{3x^2+3a^2}{3(a+x)(a-x)} $$

$$ = \frac{x^2+a^2}{a^2-x^2} $$

в)

$$ \frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{(a+b)(ax+by)-(a-b)(bx-ay)}{(a-b)(a+b)(x+y)} $$

$$ = \frac{a^2x+abx+aby+b^2y-abx+b^2x+a^2y-aby}{(a-b)(a+b)(x+y)} $$

$$ = \frac{a^2(x+y)+b^2(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)} = \frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $$

Ответ

$$ \text{а) } \frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2}; \qquad \text{б) } \frac{x^2+a^2}{a^2-x^2}; \qquad \text{в) } \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}. $$