Упр.226 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Выполните сложение или вычитание дробей:

1) Если дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, то числа $$a$$ и $$b$$ взаимно просты.

Дробь, дополняющая её до единицы:

$$1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}.$$

Предположим, что эта дробь сократима. Тогда у числителя и знаменателя есть общий делитель $$d>1$$, то есть

$$d\mid (b-a), \quad d\mid b.$$

Тогда $$d$$ делит и разность:

$$b-(b-a)=a.$$

Значит, $$d$$ делит и $$a$$, и $$b$$, что противоречит несократимости дроби $$\frac{a}{b}$$.

Следовательно, дробь $$\frac{b-a}{b}$$ тоже несократима.

2)

а)

$$\frac{3b^2-5b-1}{b^2y}+\frac{5b-3}{by}=\frac{3b^2-5b-1+b(5b-3)}{b^2y}$$

$$=\frac{3b^2-5b-1+5b^2-3b}{b^2y}=\frac{8b^2-8b-1}{b^2y}.$$

б)

$$\frac{a^2-a+1}{a^3x}-\frac{x^2-1}{ax^3}=\frac{x^2(a^2-a+1)-a^2(x^2-1)}{a^3x^3}$$

$$=\frac{a^2x^2-ax^2+x^2-a^2x^2+a^2}{a^3x^3}=\frac{x^2-ax^2+a^2}{a^3x^3}.$$

в)

$$\frac{1+c}{c^3y^4}-\frac{c^3+y^4}{c^2y^8}=\frac{y^4(1+c)-c(c^3+y^4)}{c^3y^8}$$

$$=\frac{y^4+cy^4-c^4-cy^4}{c^3y^8}=\frac{y^4-c^4}{c^3y^8}.$$

г)

$$\frac{c^2+x^2}{c^2x^5}-\frac{c+x}{c^3x^3}=\frac{c(c^2+x^2)-x^2(c+x)}{c^3x^5}$$

$$=\frac{c^3+cx^2-cx^2-x^3}{c^3x^5}=\frac{c^3-x^3}{c^3x^5}.$$

Ответ

1) $$\frac{b-a}{b}$$ — несократимая дробь.

2) а) $$\frac{8b^2-8b-1}{b^2y}$$; б) $$\frac{x^2-ax^2+a^2}{a^3x^3}$$; в) $$\frac{y^4-c^4}{c^3y^8}$$; г) $$\frac{c^3-x^3}{c^3x^5}$$.