Упр.222 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Известно, что а — b = 9. Найдите значение дроби: Докажите, что если правильная обыкновенная дробь a/b несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 222 827

Подробный ответ

Пусть правильная дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима. Тогда дробь, дополняющая её до единицы, равна

$$1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}.$$

Докажем, что она тоже несократима.

Предположим противное: дробь $$\frac{b-a}{b}$$ сократима. Тогда существуют числа $$n$$ и $$k$$, такие что

$$b-a=nk,\qquad b=mk.$$

Из равенства $$b-a=nk$$ получаем

$$a=b-nk.$$

Подставим это в дробь $$\frac{a}{b}$$:

$$\frac{a}{b}=\frac{b-nk}{b}.$$

Так как $$b=mk$$ и $$b-a=nk$$ имеют общий делитель $$k$$, то и числитель, и знаменатель дроби $$\frac{a}{b}$$ делятся на $$k$$, значит, эта дробь сокращается. Это противоречит условию, что $$\frac{a}{b}$$ несократима.

Следовательно, предположение неверно, и дробь $$\frac{b-a}{b}$$ несократима.