Упр.222 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$a-b=9$$. Найдите значение дроби:
2. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

Пусть правильная дробь $$\frac{a}{b}$$ несократима. Тогда дробь, дополняющая её до единицы, равна

$$1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}.$$

Докажем, что она тоже несократима.

Предположим противное: дробь $$\frac{b-a}{b}$$ сократима. Тогда существуют числа $$n$$ и $$k$$, такие что

$$b-a=nk,\qquad b=mk.$$

Из равенства $$b-a=nk$$ получаем

$$a=b-nk.$$

Подставим это в дробь $$\frac{a}{b}$$:

$$\frac{a}{b}=\frac{b-nk}{b}.$$

Так как $$b=mk$$ и $$b-a=nk$$ имеют общий делитель $$k$$, то и числитель, и знаменатель дроби $$\frac{a}{b}$$ делятся на $$k$$, значит, эта дробь сокращается. Это противоречит условию, что $$\frac{a}{b}$$ несократима.

Следовательно, предположение неверно, и дробь $$\frac{b-a}{b}$$ несократима.

Ответ

$$1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}$$ — несократимая дробь.