Упр.219 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Сократите дробь: Докажите, что еслиa/b=b/c=c/a, то a=b=c.

Пусть

$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k.$$

Тогда

$$a=kb,\quad b=kc,\quad c=ka.$$

Перемножим эти равенства:

$$abc=k^3abc.$$

Если хотя бы одно из чисел $a$, $b$, $c$ равно нулю, то из равенства $$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$$ следует, что все три числа равны нулю, то есть $$a=b=c=0.$$

Если же $abc\neq 0$, то можно сократить на $abc$:

$$k^3=1.$$

Для действительных чисел отсюда получаем $$k=1.$$ Тогда

$$\frac{a}{b}=1,\quad \frac{b}{c}=1,\quad \frac{c}{a}=1,$$

значит,

$$a=b,\quad b=c.$$

Следовательно, $$a=b=c.$$

Ответ

$$a=b=c.$$