Упр.217 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Сократите дробь:
2. Докажите, что если в дроби $$\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}$$ переменные $$x$$ и $$y$$ заменить соответственно на $$kx$$ и $$ky$$, где $$k\ne0$$, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

Подставим вместо $$x$$ и $$y$$ выражения $$kx$$ и $$ky$$, где $$k \ne 0$$:

$$\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy} \to \frac{(kx)^2-2(ky)^2}{3(ky)^2+5(kx)(ky)}.$$

Упростим:

$$\frac{k^2x^2-2k^2y^2}{3k^2y^2+5k^2xy} = \frac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)}.$$

Так как $$k \ne 0$$, то $$k^2 \ne 0$$, значит, можно сократить на $$k^2$$:

$$\frac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)} = \frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}.$$

Следовательно, после замены $$x \to kx$$ и $$y \to ky$$ дробь тождественно равна первоначальной.

Ответ

$$\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}$$
не изменяется при замене $$x \to kx$$, $$y \to ky$$, где $$k \ne 0$$.