Упр.209 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все пары натуральных чисел $$a$$ и $$b$$, если известно, что сумма обратных им чисел равна $$\frac{1}{7}$$.
Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$600\text{ км}$$. Первый поезд вышел из $$A$$ в $$B$$ и шёл со скоростью $$60\text{ км/ч}$$. Второй поезд вышел из $$B$$ в $$A$$ на $$3\text{ ч}$$ позже, чем первый из $$A$$, и шёл со скоростью $$v\text{ км/ч}$$. Поезда встретились через $$t\text{ ч}$$ после выхода первого поезда. Выразите $$v$$ через $$t$$. Найдите скорость $$v$$ при $$t=7$$; при $$t=6$$.

Подробный ответ

1) Пусть $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, причём

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{7}.$$

Тогда

$$7a+7b=ab.$$

Перенесём и преобразуем:

$$ab-7a=7b$$

$$a(b-7)=7b$$

$$a=\frac{7b}{b-7}.$$

Представим дробь так:

$$a=7+\frac{49}{b-7}.$$

Так как $$a$$ — натуральное число, то $$\frac{49}{b-7}$$ тоже должно быть натуральным числом. Значит, $$b-7$$ — делитель числа $$49$$:

$$b-7=1,\ 7,\ 49.$$

Отсюда:

$$b=8,\ 14,\ 56.$$

Найдём соответствующие значения $$a$$:

при $$b=8$$:

$$a=7+\frac{49}{8-7}=56;$$

при $$b=14$$:

$$a=7+\frac{49}{14-7}=14;$$

при $$b=56$$:

$$a=7+\frac{49}{56-7}=8.$$

2) Пусть первый поезд шёл со скоростью $$60$$ км/ч, а второй — со скоростью $$v$$ км/ч. Первый поезд был в пути $$t$$ ч, второй — $$t-3$$ ч. Тогда сумма пройденных ими расстояний равна $$600$$ км:

$$60t+v(t-3)=600.$$

Выразим $$v$$:

$$v(t-3)=600-60t$$

$$v=\frac{600-60t}{t-3}.$$

При $$t=7$$:

$$v=\frac{600-60\cdot 7}{7-3}=\frac{180}{4}=45\ \text{км/ч}.$$

При $$t=6$$:

$$v=\frac{600-60\cdot 6}{6-3}=\frac{240}{3}=80\ \text{км/ч}.$$