Упр.208 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение дроби (5a2+6)/(a2+1) не является целым числом. Найдите значение дроби:

Преобразуем дробь:

$$\frac{5a^2+6}{a^2+1}=\frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1}=\frac{5(a^2+1)}{a^2+1}+\frac{1}{a^2+1}=5+\frac{1}{a^2+1}.$$

Так как $$a$$ — целое и $$a\ne 0$$, то $$a^2\ge 1$$, значит

$$a^2+1\ge 2,$$

следовательно,

$$0<\frac{1}{a^2+1}<1.$$

Тогда

$$5<5+\frac{1}{a^2+1}<6,$$

то есть значение дроби лежит между двумя соседними целыми числами 5 и 6, а значит, не может быть целым.

Проверим, когда дробь могла бы стать целой: для этого нужно, чтобы $$\frac{1}{a^2+1}$$ было целым числом. Это возможно только при $$a^2+1=1$$, то есть $$a=0$$, но по условию $$a\ne 0$$.

Ответ

При любом целом $$a\ne 0$$ значение дроби $$\frac{5a^2+6}{a^2+1}$$ не является целым числом.