Упр.207 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все точки графика функции $$y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}$$ с целочисленными координатами.
Зная, что $$\frac{a+2b}{a}=11$$, найдите значение дроби $$\frac{(a-3b)^2}{b^2}$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}=\frac{x^2-6x+9-8}{x-3}=\frac{(x-3)^2-8}{x-3}=x-3-\frac{8}{x-3}.$$

Чтобы координаты точки были целыми, число $$x-3$$ должно быть целым делителем числа $$8$$. Значит,

$$x-3=\pm1,\ \pm2,\ \pm4,\ \pm8.$$

Отсюда получаем значения $$x$$:

$$x=2,\ 4,\ 1,\ 5,\ -1,\ 7,\ -5,\ 11.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$\begin{aligned} x=2 &\Rightarrow y=2-3-\frac{8}{2-3}=7,\\ x=4 &\Rightarrow y=4-3-\frac{8}{4-3}=-7,\\ x=1 &\Rightarrow y=1-3-\frac{8}{1-3}=2,\\ x=5 &\Rightarrow y=5-3-\frac{8}{5-3}=-2,\\ x=-1 &\Rightarrow y=-1-3-\frac{8}{-1-3}=-2,\\ x=7 &\Rightarrow y=7-3-\frac{8}{7-3}=2,\\ x=-5 &\Rightarrow y=-5-3-\frac{8}{-5-3}=-7,\\ x=11 &\Rightarrow y=11-3-\frac{8}{11-3}=7. \end{aligned}$$

2) Из условия

$$\frac{a+2b}{a}=11$$

получаем:

$$a+2b=11a,\qquad 2b=10a,\qquad b=5a.$$

Тогда

$$\frac{(a-3b)^2}{b^2}=\frac{(a-3\cdot 5a)^2}{(5a)^2} =\frac{(-14a)^2}{25a^2} =\frac{196}{25}=7{,}84.$$