Упр.206 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнениям:
а) $$5x+y-xy=2$$;
б) $$xy-x+y=8$$. - Найдите значение дроби $$\frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2}$$, если $$\frac{x-y}{y}=2$$.
а) Преобразуем уравнение:
$$5x+y-xy=2$$
$$x(5-y)=2-y$$
$$x=\frac{2-y}{5-y}=1-\frac{3}{5-y}$$
Так как $$x$$ — целое число, то число $$\frac{3}{5-y}$$ тоже должно быть целым. Значит, $$5-y=\pm1,\ \pm3.$$
Отсюда:
$$y=4,\ 6,\ 2,\ 8.$$
Находим соответствующие значения $$x$$:
$$y=4 \Rightarrow x=-2,$$
$$y=6 \Rightarrow x=4,$$
$$y=2 \Rightarrow x=0,$$
$$y=8 \Rightarrow x=2.$$
Итак, пары целых чисел:
$$(-2;4),\ (0;2),\ (2;8),\ (4;6).$$
б) Преобразуем уравнение:
$$xy-x+y=8$$
$$x(y-1)=8-y$$
$$x=\frac{8-y}{y-1}= \frac{7}{y-1}-1$$
Чтобы $$x$$ был целым, число $$\frac{7}{y-1}$$ должно быть целым. Значит, $$y-1=\pm1,\ \pm7.$$
Отсюда:
$$y=0,\ 2,\ -6,\ 8.$$
Находим соответствующие значения $$x$$:
$$y=0 \Rightarrow x=-8,$$
$$y=2 \Rightarrow x=6,$$
$$y=-6 \Rightarrow x=-2,$$
$$y=8 \Rightarrow x=0.$$
Итак, пары целых чисел:
$$(-8;0),\ (-2;-6),\ (0;8),\ (6;2).$$
в) Из условия
$$\frac{x-y}{y}=2$$
получаем:
$$x-y=2y,$$
$$x=3y.$$
Подставим в выражение:
$$\frac{3x^2-xy+6y^2}{y^2}=\frac{3(3y)^2-(3y)\cdot y+6y^2}{y^2}$$
$$=\frac{27y^2-3y^2+6y^2}{y^2}=\frac{30y^2}{y^2}=30.$$
Ответ
а) $$(-2;4),\ (0;2),\ (2;8),\ (4;6)$$
б) $$(-8;0),\ (-2;-6),\ (0;8),\ (6;2)$$
в) $$30$$
