Упр.205 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (m2-6m+10)/(m-3);
б) (m-4)2/(m-2).
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
Найдите все пары натуральных чисел а и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна 1/7.

а) Преобразуем выражение:

$$ \frac{m^2-6m+10}{m-3} = \frac{m^2-6m+9+1}{m-3} = \frac{(m-3)^2+1}{m-3} = m-3+\frac{1}{m-3}. $$

Чтобы значение дроби было целым числом при целом $$m$$, число $$\frac{1}{m-3}$$ тоже должно быть целым. Это возможно только при

$$ m-3=\pm 1. $$

Тогда

$$ m=2 \quad \text{или} \quad m=4. $$

Проверим:

$$ \frac{2^2-6\cdot 2+10}{2-3}=\frac{4-12+10}{-1}=\frac{2}{-1}=-2, $$

$$ \frac{4^2-6\cdot 4+10}{4-3}=\frac{16-24+10}{1}=2. $$

б) Преобразуем выражение:

$$ \frac{(m-4)^2}{m-2} = \frac{m^2-8m+16}{m-2} = \frac{(m-2)^2-4m+12}{m-2} = \frac{(m-2)^2}{m-2}-\frac{4m-12}{m-2}. $$

Упростим:

$$ \frac{(m-4)^2}{m-2} = m-2-\frac{4(m-3)}{m-2}. $$

Удобнее записать так:

$$ \frac{(m-4)^2}{m-2} = m-6+\frac{4}{m-2}. $$

Чтобы значение дроби было целым числом при целом $$m$$, число $$\frac{4}{m-2}$$ должно быть целым. Значит, $$m-2$$ — делитель числа $$4$$:

$$ m-2=\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4. $$

Отсюда

$$ m=1,\ 3,\ 0,\ 4,\ -2,\ 6. $$

Проверим значения:

$$ m=1 \Rightarrow \frac{(1-4)^2}{1-2}=-9, \quad m=3 \Rightarrow \frac{(3-4)^2}{3-2}=1, $$

$$ m=0 \Rightarrow \frac{(0-4)^2}{0-2}=-8, \quad m=4 \Rightarrow \frac{(4-4)^2}{4-2}=0, $$

$$ m=-2 \Rightarrow \frac{(-2-4)^2}{-2-2}=-9, \quad m=6 \Rightarrow \frac{(6-4)^2}{6-2}=1. $$

Теперь найдём пары натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ из условия

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{7} \quad \Rightarrow \quad 7a+7b=ab. $$

Преобразуем:

$$ ab-7a-7b=0 \quad \Rightarrow \quad (a-7)(b-7)=49. $$

Так как $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, то возможны положительные делители числа $$49$$:

$$ a-7=1,\ 7,\ 49. $$

Тогда

$$ (a,b)=(8,56),\ (14,14),\ (56,8). $$

Ответ

а) $$-2,\ 2$$; б) $$-9,\ 1,\ -8,\ 0,\ -9,\ 1$$; $$\left(a,b\right)=(8,56),\ (14,14),\ (56,8).$$