Упр.205 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Для работы в парах. Зная, что $$m$$ — целое число, найдите целые значения дроби:
а) $$\frac{m^2-6m+10}{m-3}$$;
б) $$\frac{(m-4)^2}{m-2}$$.
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
- Найдите все пары натуральных чисел $$a$$ и $$b$$, если известно, что сумма обратных им чисел равна $$\frac{1}{7}$$.
а) Преобразуем выражение:
$$\frac{m^2-6m+10}{m-3} = \frac{m^2-6m+9+1}{m-3} = \frac{(m-3)^2+1}{m-3} = m-3+\frac{1}{m-3}.$$
Чтобы значение дроби было целым числом при целом $$m$$, число $$\frac{1}{m-3}$$ тоже должно быть целым. Это возможно только при
$$m-3=\pm 1.$$
Тогда
$$m=2 \quad \text{или} \quad m=4.$$
Проверим:
$$\frac{2^2-6\cdot 2+10}{2-3}=\frac{4-12+10}{-1}=\frac{2}{-1}=-2,$$
$$\frac{4^2-6\cdot 4+10}{4-3}=\frac{16-24+10}{1}=2.$$
б) Преобразуем выражение:
$$\frac{(m-4)^2}{m-2} = \frac{m^2-8m+16}{m-2} = \frac{(m-2)^2-4m+12}{m-2} = \frac{(m-2)^2}{m-2}-\frac{4m-12}{m-2}.$$
Упростим:
$$\frac{(m-4)^2}{m-2} = m-2-\frac{4(m-3)}{m-2}.$$
Удобнее записать так:
$$\frac{(m-4)^2}{m-2} = m-6+\frac{4}{m-2}.$$
Чтобы значение дроби было целым числом при целом $$m$$, число $$\frac{4}{m-2}$$ должно быть целым. Значит, $$m-2$$ — делитель числа $$4$$:
$$m-2=\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4.$$
Отсюда
$$m=1,\ 3,\ 0,\ 4,\ -2,\ 6.$$
Проверим значения:
$$m=1 \Rightarrow \frac{(1-4)^2}{1-2}=-9, \quad m=3 \Rightarrow \frac{(3-4)^2}{3-2}=1,$$
$$m=0 \Rightarrow \frac{(0-4)^2}{0-2}=-8, \quad m=4 \Rightarrow \frac{(4-4)^2}{4-2}=0,$$
$$m=-2 \Rightarrow \frac{(-2-4)^2}{-2-2}=-9, \quad m=6 \Rightarrow \frac{(6-4)^2}{6-2}=1.$$
Теперь найдём пары натуральных чисел $$a$$ и $$b$$ из условия
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{7} \quad \Rightarrow \quad 7a+7b=ab.$$
Преобразуем:
$$ab-7a-7b=0 \quad \Rightarrow \quad (a-7)(b-7)=49.$$
Так как $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа, то возможны положительные делители числа $$49$$:
$$a-7=1,\ 7,\ 49.$$
Тогда
$$(a,b)=(8,56),\ (14,14),\ (56,8).$$
Ответ
а) $$-2,\ 2$$; б) $$-9,\ 1,\ -8,\ 0,\ -9,\ 1$$; $$\left(a,b\right)=(8,56),\ (14,14),\ (56,8).$$
