Упр.204 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Выясните, при каких целых а дробь (a2-4a+1)/(a-2) принимает целые значения, и найдите эти значения. Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение дроби (5a2+6)/(a2+1) не является целым числом.

Подробный ответ

1) Преобразуем первую дробь:

$$ \frac{a^2-4a+1}{a-2} = \frac{a^2-4a+4-3}{a-2} = \frac{(a-2)^2-3}{a-2} = a-2-\frac{3}{a-2}. $$

Так как $a$ — целое число, то выражение будет целым только тогда, когда дробь $$\frac{3}{a-2}$$ тоже является целым числом. Это возможно, если $$a-2=\pm1,\ \pm3.$$

Тогда получаем:

$$ a-2=-3 \Rightarrow a=-1,\qquad a-2=-1 \Rightarrow a=1,\qquad a-2=1 \Rightarrow a=3,\qquad a-2=3 \Rightarrow a=5. $$

Найдём значения дроби:

$$ \frac{(-1)^2-4\cdot(-1)+1}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2, $$

$$ \frac{1^2-4\cdot1+1}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2, $$

$$ \frac{3^2-4\cdot3+1}{3-2}=\frac{-2}{1}=-2, $$

$$ \frac{5^2-4\cdot5+1}{5-2}=\frac{6}{3}=2. $$

Значит, при $$a=-1,\,1,\,3,\,5$$ дробь принимает целые значения $$-2,\,2,\,-2,\,2$$ соответственно.

2) Докажем, что при любом целом $$a\ne0$$ значение дроби $$\frac{5a^2+6}{a^2+1}$$ не является целым числом.

Преобразуем:

$$ \frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1} = 5+\frac{1}{a^2+1}. $$

При $$a\ne0$$ имеем $$a^2\ge1$$, значит $$a^2+1>1$$. Тогда $$\frac{1}{a^2+1}$$ — правильная дробь, не равная целому числу. Следовательно, вся сумма $$5+\frac{1}{a^2+1}$$ не может быть целым числом.