Упр.203 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Найдите все точки графика функции у = (x2-6x+1)/(x-3) с целочисленными координатами.

1) Представим дробь в виде суммы:

$$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}.$$

Тогда

$$\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x(a+b)+(a-b)}{x^2-1}.$$

Сравнивая числители, получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=4,\\ a-b=3. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2a=7,\quad a=\frac{7}{2}.$$

Тогда

$$b=4-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{7/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}.$$

2) Найдём точки графика функции $$y=\frac{x^2-6x+1}{x-3}$$ с целочисленными координатами.

Преобразуем выражение:

$$ \frac{x^2-6x+1}{x-3} = \frac{x^2-6x+9-8}{x-3} = \frac{(x-3)^2-8}{x-3} = x-3-\frac{8}{x-3}. $$

Чтобы $$y$$ было целым при целочисленном $$x$$, число $$x-3$$ должно делить $$8$$. Тогда

$$x-3=\pm1,\pm2,\pm4,\pm8.$$

Отсюда

$$x=2,4,1,5,-1,7,-5,11.$$

Вычислим соответствующие значения $$y$$:

$$ \begin{aligned} x=2 &\Rightarrow y=7,\\ x=4 &\Rightarrow y=-7,\\ x=1 &\Rightarrow y=2,\\ x=5 &\Rightarrow y=-2,\\ x=-1 &\Rightarrow y=-2,\\ x=7 &\Rightarrow y=2,\\ x=-5 &\Rightarrow y=-7,\\ x=11 &\Rightarrow y=7. \end{aligned} $$

Итак, искомые точки:

$$(-5,-7),\;(-1,-2),\;(1,2),\;(2,7),\;(4,-7),\;(5,-2),\;(7,2),\;(11,7).$$

Ответ

$$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{7/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}.$$

Точки графика: $$(-5,-7),\;(-1,-2),\;(1,2),\;(2,7),\;(4,-7),\;(5,-2),\;(7,2),\;(11,7).$$