Упр.202 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) 5х + у — ху = 2; б) ху — х + у = 8.

Представим дробь в виде суммы:

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x+4)(x-2)}.$$

Тогда числители равны:

$$5x-1=a(x-2)+b(x+4).$$

Раскроем скобки:

$$5x-1=ax-2a+bx+4b=x(a+b)+(4b-2a).$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=5,\\ 4b-2a=-1. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$a=5-b$$. Подставим во второе:

$$4b-2(5-b)=-1,$$

$$4b-10+2b=-1,$$

$$6b=9,$$

$$b=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$a=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{7}{2(x+4)}+\frac{3}{2(x-2)}.$$

Теперь найдём все пары целых чисел.

а) $$5x+y-xy=2.$$

Преобразуем:

$$x(5-y)=2-y,$$

$$x=\frac{2-y}{5-y}=1-\frac{3}{5-y}.$$

Чтобы $$x$$ было целым, число $$5-y$$ должно делить $$3$$. Тогда

$$5-y=\pm 1,\ \pm 3.$$

Отсюда:

$$y=4,\ 6,\ 2,\ 8.$$

Находим соответствующие значения $$x$$:

$$y=4 \Rightarrow x=-2,$$

$$y=6 \Rightarrow x=4,$$

$$y=2 \Rightarrow x=0,$$

$$y=8 \Rightarrow x=2.$$

Значит, пары:

$$(-2;4),\ (4;6),\ (0;2),\ (2;8).$$

б) $$xy-x+y=8.$$

Преобразуем:

$$x(y-1)=8-y,$$

$$x=\frac{8-y}{y-1}=1+\frac{7}{y-1}.$$

Чтобы $$x$$ было целым, число $$y-1$$ должно делить $$7$$. Тогда

$$y-1=\pm 1,\ \pm 7.$$

Отсюда:

$$y=0,\ 2,\ -6,\ 8.$$

Находим соответствующие значения $$x$$:

$$y=0 \Rightarrow x=-8,$$

$$y=2 \Rightarrow x=6,$$

$$y=-6 \Rightarrow x=-2,$$

$$y=8 \Rightarrow x=0.$$

Значит, пары:

$$(-8;0),\ (6;2),\ (-2;-6),\ (0;8).$$

Ответ

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{7}{2(x+4)}+\frac{3}{2(x-2)}.$$

а) $$(-2;4),\ (4;6),\ (0;2),\ (2;8).$$

б) $$(-8;0),\ (6;2),\ (-2;-6),\ (0;8).$$