Упр.201 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1) Преобразуем дробь:

$$\frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}$$
$$\frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)}$$
$$6x=a(x-2)+b(x-1)$$
$$6x=ax-2a+bx-b=x(a+b)+(-2a-b)$$

Чтобы равенство было тождеством, должны совпадать коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$:

$$\begin{cases} a+b=6,\\ -2a-b=0. \end{cases}$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} a+b=6,\\ 2a+b=0 \end{cases} \Rightarrow a=-6,\quad b=12.$$

2) а)

$$\frac{m^2-6m+10}{m-3} = \frac{m^2-6m+9+1}{m-3} = \frac{(m-3)^2+1}{m-3} = m-3+\frac{1}{m-3}.$$

Так как $$m$$ — целое число, то целым будет и всё выражение только тогда, когда дробь $$\frac{1}{m-3}$$ — целое число. Это возможно при

$$m-3=\pm 1.$$

Тогда

$$m=2 \quad \text{или} \quad m=4.$$

Проверим:

$$m=2:\ \frac{2^2-6\cdot 2+10}{2-3}=\frac{2}{-1}=-2,$$
$$m=4:\ \frac{4^2-6\cdot 4+10}{4-3}=\frac{2}{1}=2.$$

Значит, целые значения дроби: $$-2$$ и $$2$$.

б)

$$\frac{(m-4)^2}{m-2} = \frac{m^2-8m+16}{m-2} = \frac{(m-2)^2-4m+12}{m-2} = \frac{(m-2)^2}{m-2}-\frac{4m-12}{m-2}.$$

Упростим:

$$\frac{(m-4)^2}{m-2} = m-2-\frac{4(m-3)}{m-2} = m-6+\frac{4}{m-2}.$$

Чтобы выражение было целым при целом $$m$$, дробь $$\frac{4}{m-2}$$ должна быть целым числом. Значит, $$m-2$$ — делитель числа $$4$$:

$$m-2=\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4.$$

Тогда

$$m=1,\ 3,\ 0,\ 4,\ -2,\ 6.$$

Найдём значения дроби:

$$m=1:\ \frac{(1-4)^2}{1-2}=-9,$$
$$m=3:\ \frac{(3-4)^2}{3-2}=1,$$
$$m=0:\ \frac{(0-4)^2}{0-2}=-8,$$
$$m=4:\ \frac{(4-4)^2}{4-2}=0,$$
$$m=-2:\ \frac{(-2-4)^2}{-2-2}=-9,$$
$$m=6:\ \frac{(6-4)^2}{6-2}=1.$$

Целые значения дроби: $$-9,\ -8,\ 0,\ 1$$.

Ответ

$$a=-6,\ b=12$$; а) $$-2,\ 2$$; б) $$-9,\ -8,\ 0,\ 1$$.