Упр.201 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

6x/ (x-1)(х-2) = a/(х-1) + b/(х-2)
является тождеством? (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, найдите целые значения дроби:
а) (m2-6m+10)/(m-3);
б) (m-4)2/(m-2).
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.

Подробный ответ

1) Преобразуем дробь:

$$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2} $$
$$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$
$$ 6x=a(x-2)+b(x-1) $$
$$ 6x=ax-2a+bx-b=x(a+b)+(-2a-b) $$

Чтобы равенство было тождеством, должны совпадать коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$$ \begin{cases} a+b=6,\\ -2a-b=0. \end{cases} $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=6,\\ 2a+b=0 \end{cases} \Rightarrow a=-6,\quad b=12. $$

2) а)

$$ \frac{m^2-6m+10}{m-3} = \frac{m^2-6m+9+1}{m-3} = \frac{(m-3)^2+1}{m-3} = m-3+\frac{1}{m-3}. $$

Так как $m$ — целое число, то целым будет и всё выражение только тогда, когда дробь $$\frac{1}{m-3}$$ — целое число. Это возможно при

$$ m-3=\pm 1. $$

Тогда

$$ m=2 \quad \text{или} \quad m=4. $$

Проверим:

$$ m=2:\ \frac{2^2-6\cdot 2+10}{2-3}=\frac{2}{-1}=-2, $$
$$ m=4:\ \frac{4^2-6\cdot 4+10}{4-3}=\frac{2}{1}=2. $$

Значит, целые значения дроби: $-2$ и $2$.

б)

$$ \frac{(m-4)^2}{m-2} = \frac{m^2-8m+16}{m-2} = \frac{(m-2)^2-4m+12}{m-2} = \frac{(m-2)^2}{m-2}-\frac{4m-12}{m-2}. $$

Упростим:

$$ \frac{(m-4)^2}{m-2} = m-2-\frac{4(m-3)}{m-2} = m-6+\frac{4}{m-2}. $$

Чтобы выражение было целым при целом $m$, дробь $$\frac{4}{m-2}$$ должна быть целым числом. Значит, $m-2$ — делитель числа $4$:

$$ m-2=\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4. $$

Тогда

$$ m=1,\ 3,\ 0,\ 4,\ -2,\ 6. $$

Найдём значения дроби:

$$ m=1:\ \frac{(1-4)^2}{1-2}=-9, $$
$$ m=3:\ \frac{(3-4)^2}{3-2}=1, $$
$$ m=0:\ \frac{(0-4)^2}{0-2}=-8, $$
$$ m=4:\ \frac{(4-4)^2}{4-2}=0, $$
$$ m=-2:\ \frac{(-2-4)^2}{-2-2}=-9, $$
$$ m=6:\ \frac{(6-4)^2}{6-2}=1. $$

Целые значения дроби: $-9,\ -8,\ 0,\ 1$.