Упр.200 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение Выясните, при каких целых а дробь (a2-4a+1)/(a-2) принимает целые значения, и найдите эти значения.

Преобразуем дробь:

$$\frac{a^2-4a+1}{a-2}=\frac{a^2-4a+4-3}{a-2}=\frac{(a-2)^2-3}{a-2}.$$

Тогда

$$\frac{(a-2)^2-3}{a-2}=a-2-\frac{3}{a-2}.$$

Чтобы при целых $$a$$ выражение было целым, дробь $$\frac{3}{a-2}$$ тоже должна быть целым числом. Значит, $$a-2$$ — делитель числа $$3$$:

$$a-2=\pm 1,\ \pm 3.$$

Отсюда

$$a=1,\ 3,\ -1,\ 5.$$

Найдём значения дроби:

$$a=-1:\ \frac{(-1)^2-4\cdot(-1)+1}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2.$$

$$a=1:\ \frac{1^2-4\cdot1+1}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2.$$

$$a=3:\ \frac{3^2-4\cdot3+1}{3-2}=\frac{-2}{1}=-2.$$

$$a=5:\ \frac{5^2-4\cdot5+1}{5-2}=\frac{6}{3}=2.$$

Ответ

При $$a=-1,\ 1,\ 3,\ 5$$ дробь принимает целые значения: $$-2,\ 2,\ -2,\ 2$$ соответственно.