Упр.199 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
Представьте дробь (4x+3)/(x2-1) в виде суммы двух дробей со знаменателями x-1 и x+1.

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)}.$$

Тогда

$$4x+3=a(x+1)+b(x-1).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$4x+3=ax+a+bx-b=x(a+b)+(a-b).$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=4,\\ a-b=3. \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$$2a=7,\quad a=\frac{7}{2}.$$

Тогда

$$b=4-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}.$$

Проверка:

$$\frac{7/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}=\frac{\frac{7}{2}(x+1)+\frac{1}{2}(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{4x+3}{x^2-1}.$$

Ответ

$$a=\frac{7}{2},\quad b=\frac{1}{2}.$$