Упр.199 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Задача-исследование. При каких значениях $$a$$ и $$b$$ является тождеством равенство
$$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}+b(x+2)?$$

а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.

б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.

в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
Представьте дробь $$\frac{4x+3}{x^2-1}$$ в виде суммы двух дробей со знаменателями $$x-1$$ и $$x+1$$.

Подробный ответ

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)}.$$

Тогда

$$4x+3=a(x+1)+b(x-1).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$4x+3=ax+a+bx-b=x(a+b)+(a-b).$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a+b=4,\\ a-b=3. \end{cases}$$

Сложим уравнения системы:

$$2a=7,\quad a=\frac{7}{2}.$$

Тогда