Упр.198 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных: Представьте дробь (5x-1)/(x+4)(x-2) в виде суммы двух дробей со знаменателями х + 4 и х — 2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 198 827

Представим дробь в виде суммы:

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x+4)(x-2)}.$$

Тогда числители должны быть равны:

$$5x-1=a(x-2)+b(x+4).$$

Раскроем скобки:

$$5x-1=ax-2a+bx+4b=x(a+b)+(4b-2a).$$

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$$\begin{cases} a+b=5,\\ 4b-2a=-1. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$a=5-b.$$

Подставим во второе:

$$4b-2(5-b)=-1,$$

$$4b-10+2b=-1,$$

$$6b=9,$$

$$b=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$a=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{7/2}{x+4}+\frac{3/2}{x-2}.$$

При допустимых значениях переменной $$x\neq -4,\; x\neq 2$$ значение дроби не зависит от способа разложения на сумму дробей.

Ответ

$$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{7}{2(x+4)}+\frac{3}{2(x-2)},\quad x\neq -4,\; x\neq 2.$$