Упр.195 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях. (Задача-исследование.) При каких значениях а и b является тождеством равенство (5x+31)/(x-5)(x+2) = a/(x-5) + b(x+2)?
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Чтобы равенство было тождеством, нужно привести правую часть к общему знаменателю и приравнять числители:

$$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}+\frac{b}{x+2}$$

$$\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a(x+2)+b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$$

Так как знаменатели одинаковые, получаем:

$$5x+31=a(x+2)+b(x-5)$$

Раскроем скобки:

$$5x+31=ax+2a+bx-5b$$

$$5x+31=x(a+b)+(2a-5b)$$

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$$ \begin{cases} a+b=5,\\ 2a-5b=31. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$a=5-b$$

Подставим во второе:

$$2(5-b)-5b=31$$

$$10-7b=31$$

$$-7b=21$$

$$b=-3$$

Тогда

$$a=5-(-3)=8$$

Проверка:

$$\frac{8}{x-5}+\frac{-3}{x+2}=\frac{8(x+2)-3(x-5)}{(x-5)(x+2)}=\frac{8x+16-3x+15}{(x-5)(x+2)}=\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}$$

Тождество верно.

Ответ

$$a=8,\quad b=-3$$