Упр.188 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
а) $$y=\frac{2}{x}$$;
б) $$y=-\frac{2}{x}$$;
в) $$y=\frac{3}{x}$$;
г) $$y=-\frac{4}{x}$$;
д) $$y=1/2x$$;
е) $$y=-2/5x$$.
Для работы в парах. Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:
а) $$\frac{k}{x}=x^2$$, где $$k>0$$;
б) $$\frac{k}{x}=x^2$$, где $$k<0$$; в) $$\frac{k}{x}=x^3$$, где $$k>0$$;
г) $$\frac{k}{x}=x^3$$, где $$k<0$$.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функции $$y=\frac{k}{x}$$.

3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

Подробный ответ

Для построения графиков удобно взять несколько значений x и вычислить соответствующие значения y.

а) $$y=\frac{2}{x}$$

$$x$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$y$$	$$-0{,}5$$	$$-1$$	$$-2$$	$$-4$$	$$4$$	$$2$$	$$1$$	$$0{,}5$$

б) $$y=-\frac{2}{x}$$

$$x$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$y$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$

в) $$y=\frac{3}{x}$$

$$x$$	$$-9$$	$$-3$$	$$-1$$	$$-\frac{1}{3}$$	$$\frac{1}{3}$$	$$1$$	$$3$$	$$9$$
$$y$$	$$-\frac{1}{3}$$	$$-1$$	$$-3$$	$$-9$$	$$9$$	$$3$$	$$1$$	$$\frac{1}{3}$$

г) $$y=-\frac{4}{x}$$

$$x$$	$$-8$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$8$$
$$y$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$

д) $$y=\frac{1}{2x}$$

$$x$$	$$-5$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$-0{,}1$$	$$0{,}1$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$5$$
$$y$$	$$-0{,}1$$	$$-0{,}25$$	$$-0{,}5$$	$$-1$$	$$-5$$	$$5$$	$$1$$	$$0{,}5$$	$$0{,}25$$	$$0{,}1$$

е) $$y=-\frac{2}{5x}$$

$$x$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}4$$	$$-0{,}2$$	$$-0{,}1$$	$$0{,}1$$	$$0{,}2$$	$$0{,}4$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$
$$y$$	$$0{,}1$$	$$0{,}2$$	$$0{,}4$$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$-4$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}4$$	$$-0{,}2$$	$$-0{,}1$$

Графики всех этих функций — гиперболы, их ветви расположены в I и III четвертях при положительном коэффициенте и во II и IV четвертях при отрицательном коэффициенте.

Теперь выясним число решений уравнений по графикам.

а) $$\frac{k}{x}=x^2,\quad k>0$$

При $$x\neq 0$$ получаем:

$$k=x^3$$

Так как $$k>0$$, то уравнение $$x^3=k$$ имеет одно действительное решение.

б) $$\frac{k}{x}=x^2,\quad k<0$$

После умножения на $$x$$:

$$k=x^3$$

Так как $$k<0$$, уравнение $$x^3=k$$ также имеет одно действительное решение.

в) $$\frac{k}{x}=x^3,\quad k>0$$

При $$x\neq 0$$:

$$k=x^4$$

Так как $$k>0$$, уравнение $$x^4=k$$ имеет два действительных решения:

$$x=\pm \sqrt[4]{k}$$

г) $$\frac{k}{x}=x^3,\quad k<0$$

После преобразования:

$$k=x^4$$

Но $$x^4\ge 0$$ при любом $$x$$, а $$k<0$$. Значит, решений нет.

Ответ

а) $$y=\frac{2}{x}$$; б) $$y=-\frac{2}{x}$$; в) $$y=\frac{3}{x}$$; г) $$y=-\frac{4}{x}$$; д) $$y=\frac{1}{2x}$$; е) $$y=-\frac{2}{5x}$$.

Уравнение $$\frac{k}{x}=x^2$$ при $$k>0$$ имеет одно решение, при $$k<0$$ — одно решение; уравнение $$\frac{k}{x}=x^3$$ при $$k>0$$ имеет два решения, при $$k<0$$ — не имеет решений.