Упр.188 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) y = 2/x;
б) y = -2/x;
в) y = 3/x;
г) y = -4/x;
д) y = 1/2x;
е) y = -2/5x. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:
а) k/x = х2, где k > 0;
б) k/x = х2, где k < 0;
в) k/x = x3, где k > 0;
г) k/x = x3, где k < 0.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функции у =k/x.
3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.
Для построения графиков удобно взять несколько значений x и вычислить соответствующие значения y.
а) $$y=\frac{2}{x}$$
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-0{,}5$$ | $$-1$$ | $$-2$$ | $$-4$$ | $$4$$ | $$2$$ | $$1$$ | $$0{,}5$$ |
б) $$y=-\frac{2}{x}$$
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ |
в) $$y=\frac{3}{x}$$
| $$x$$ | $$-9$$ | $$-3$$ | $$-1$$ | $$-\frac{1}{3}$$ | $$\frac{1}{3}$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$9$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-\frac{1}{3}$$ | $$-1$$ | $$-3$$ | $$-9$$ | $$9$$ | $$3$$ | $$1$$ | $$\frac{1}{3}$$ |
г) $$y=-\frac{4}{x}$$
| $$x$$ | $$-8$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$8$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ |
д) $$y=\frac{1}{2x}$$
| $$x$$ | $$-5$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ | $$-0{,}1$$ | $$0{,}1$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$5$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-0{,}1$$ | $$-0{,}25$$ | $$-0{,}5$$ | $$-1$$ | $$-5$$ | $$5$$ | $$1$$ | $$0{,}5$$ | $$0{,}25$$ | $$0{,}1$$ |
е) $$y=-\frac{2}{5x}$$
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}4$$ | $$-0{,}2$$ | $$-0{,}1$$ | $$0{,}1$$ | $$0{,}2$$ | $$0{,}4$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0{,}1$$ | $$0{,}2$$ | $$0{,}4$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$-4$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-0{,}4$$ | $$-0{,}2$$ | $$-0{,}1$$ |
Графики всех этих функций — гиперболы, их ветви расположены в I и III четвертях при положительном коэффициенте и во II и IV четвертях при отрицательном коэффициенте.
Теперь выясним число решений уравнений по графикам.
а) $$\frac{k}{x}=x^2,\quad k>0$$
При $$x\neq 0$$ получаем:
$$k=x^3$$
Так как $$k>0$$, то уравнение $$x^3=k$$ имеет одно действительное решение.
б) $$\frac{k}{x}=x^2,\quad k<0$$
После умножения на $$x$$:
$$k=x^3$$
Так как $$k<0$$, уравнение $$x^3=k$$ также имеет одно действительное решение.
в) $$\frac{k}{x}=x^3,\quad k>0$$
При $$x\neq 0$$:
$$k=x^4$$
Так как $$k>0$$, уравнение $$x^4=k$$ имеет два действительных решения:
$$x=\pm \sqrt[4]{k}$$
г) $$\frac{k}{x}=x^3,\quad k<0$$
После преобразования:
$$k=x^4$$
Но $$x^4\ge 0$$ при любом $$x$$, а $$k<0$$. Значит, решений нет.
Ответ
а) $$y=\frac{2}{x}$$; б) $$y=-\frac{2}{x}$$; в) $$y=\frac{3}{x}$$; г) $$y=-\frac{4}{x}$$; д) $$y=\frac{1}{2x}$$; е) $$y=-\frac{2}{5x}$$.
Уравнение $$\frac{k}{x}=x^2$$ при $$k>0$$ имеет одно решение, при $$k<0$$ — одно решение; уравнение $$\frac{k}{x}=x^3$$ при $$k>0$$ имеет два решения, при $$k<0$$ — не имеет решений.
