Упр.18 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 3/(x2+1) положительно;
б) -5/(y2+4) отрицательно;
в) (a-1)2/(a2+10) неотрицательно;
г) (b-3)2(-b2-1) неположительно. При каком значении а принимает наибольшее значение дробь:

а) $$\frac{3}{x^2+1}$$

Числитель положителен: $$3>0$$. Знаменатель тоже положителен при любом $$x$$, так как $$x^2\ge 0$$, значит

$$x^2+1>0.$$

Следовательно, $$\frac{3}{x^2+1}>0$$ при любом значении $$x$$.

б) $$\frac{-5}{y^2+4}$$

Числитель отрицателен: $$-5<0$$. Знаменатель положителен при любом $$y$$, так как

$$y^2+4>0.$$

Значит,

$$\frac{-5}{y^2+4}<0$$

при любом значении $$y$$.

в) $$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$$

Квадрат любого числа неотрицателен:

$$ (a-1)^2\ge 0. $$

Знаменатель всегда положителен:

$$a^2+10>0.$$

Поэтому

$$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge 0$$

при любом значении $$a$$.

г) $$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$$

Числитель неотрицателен:

$$ (b-3)^2\ge 0. $$

Знаменатель отрицателен при любом $$b$$:

$$-b^2-1=-(b^2+1)<0.$$

Следовательно, дробь не превосходит нуля:

$$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le 0.$$

Наибольшее значение дробь $$\frac{4}{a^2+5}$$ принимает тогда, когда знаменатель наименьший. Так как $$a^2\ge 0$$, то

$$a^2+5\ge 5,$$

и равенство достигается при $$a=0$$. Значит, наибольшее значение дробь принимает при $$a=0$$.

Для дроби $$\frac{10}{(a-3)^2+1}$$ наибольшее значение достигается при наименьшем знаменателе. Так как

$$ (a-3)^2\ge 0, $$

то

$$ (a-3)^2+1\ge 1, $$

и равенство достигается при $$a=3$$. Значит, наибольшее значение дробь принимает при $$a=3$$.

Ответ

а) положительно; б) отрицательно; в) неотрицательно; г) неположительно; наибольшее значение дробь $$\frac{4}{a^2+5}$$ принимает при $$a=0$$, а дробь $$\frac{10}{(a-3)^2+1}$$ — при $$a=3$$.