Упр.18 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
а) $$\frac{3}{x^2+1}$$ положительно;
б) $$\frac{-5}{y^2+4}$$ отрицательно;
в) $$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$$ неотрицательно;
г) $$(b-3)^2(-b^2-1)$$ неположительно. - При каком значении $$a$$ принимает наибольшее значение дробь:
а) $$\frac{3}{x^2+1}$$
Числитель положителен: $$3>0$$. Знаменатель тоже положителен при любом $$x$$, так как $$x^2\ge 0$$, значит
$$x^2+1>0.$$
Следовательно, $$\frac{3}{x^2+1}>0$$ при любом значении $$x$$.
б) $$\frac{-5}{y^2+4}$$
Числитель отрицателен: $$-5<0$$. Знаменатель положителен при любом $$y$$, так как
$$y^2+4>0.$$
Значит,
$$\frac{-5}{y^2+4}<0$$
при любом значении $$y$$.
в) $$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$$
Квадрат любого числа неотрицателен:
$$(a-1)^2\ge 0.$$
Знаменатель всегда положителен:
$$a^2+10>0.$$
Поэтому
$$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge 0$$
при любом значении $$a$$.
г) $$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$$
Числитель неотрицателен:
$$(b-3)^2\ge 0.$$
Знаменатель отрицателен при любом $$b$$:
$$-b^2-1=-(b^2+1)<0.$$
Следовательно, дробь не превосходит нуля:
$$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le 0.$$
Наибольшее значение дробь $$\frac{4}{a^2+5}$$ принимает тогда, когда знаменатель наименьший. Так как $$a^2\ge 0$$, то
$$a^2+5\ge 5,$$
и равенство достигается при $$a=0$$. Значит, наибольшее значение дробь принимает при $$a=0$$.
Для дроби $$\frac{10}{(a-3)^2+1}$$ наибольшее значение достигается при наименьшем знаменателе. Так как
$$(a-3)^2\ge 0,$$
то
$$(a-3)^2+1\ge 1,$$
и равенство достигается при $$a=3$$. Значит, наибольшее значение дробь принимает при $$a=3$$.
Ответ
а) положительно; б) отрицательно; в) неотрицательно; г) неположительно; наибольшее значение дробь $$\frac{4}{a^2+5}$$ принимает при $$a=0$$, а дробь $$\frac{10}{(a-3)^2+1}$$ — при $$a=3$$.
