Упр.172 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч, а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить два заказа, работая совместно?

Среднее гармоническое чисел $$a_1, a_2, \dots, a_n$$ находим по формуле

$$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}}.$$

а)

$$H=\frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{2}{\frac{5+3}{15}}=\frac{2}{\frac{8}{15}}=\frac{30}{8}=3\frac{3}{4}.$$

б)

$$H=\frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=\frac{3}{\frac{4+2+1}{8}}=\frac{3}{\frac{7}{8}}=\frac{24}{7}=3\frac{3}{7}.$$

в)

$$H=\frac{4}{\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}}.$$

Приведём знаменатель к общему знаменателю $$60$$:

$$\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{12+6+4+3}{60}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}.$$

Тогда

$$H=\frac{4}{\frac{5}{12}}=\frac{48}{5}=9\frac{3}{5}.$$

2) Найдём время, за которое мастер и ученик выполнят два заказа вместе.

За 1 час мастер выполняет $$\frac{1}{4}$$ заказа, а ученик — $$\frac{1}{6}$$ заказа. Тогда их общая производительность:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3+2}{12}=\frac{5}{12}$$ заказа в час.

Чтобы выполнить $$2$$ заказа, потребуется

$$t=\frac{2}{\frac{5}{12}}=\frac{24}{5}=4\frac{4}{5}\text{ ч}=4\text{ ч }48\text{ мин}.$$

Ответ

а) $$3\frac{3}{4}$$; б) $$3\frac{3}{7}$$; в) $$9\frac{3}{5}$$; два заказа вместе — $$4\text{ ч }48\text{ мин}$$.