Упр.17 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Определите знак дроби $$\frac{a}{b}$$, если известно, что:
   а) $$a>0$$ и $$b>0$$;
   б) $$a>0$$ и $$b<0$$;
   в) $$a<0$$ и $$b>0$$;
   г) $$a<0$$ и $$b<0$$.
2. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
   а) $$\frac{3}{x^2+1}$$ положительно;
   б) $$\frac{-5}{y^2+4}$$ отрицательно;
   в) $$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$$ неотрицательно;
   г) $$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$$ неположительно.

а) Если $$a>0$$ и $$b>0$$, то дробь $$\frac{a}{b}$$ положительна, так как частное двух положительных чисел положительно.

б) Если $$a>0$$ и $$b<0$$, то $$\frac{a}{b}<0$$, так как частное положительного и отрицательного чисел отрицательно.

в) Если $$a<0$$ и $$b>0$$, то $$\frac{a}{b}<0$$, так как частное отрицательного и положительного чисел отрицательно.

г) Если $$a<0$$ и $$b<0$$, то $$\frac{a}{b}>0$$, так как частное двух отрицательных чисел положительно.

Докажем утверждения.

а) $$3>0$$, а $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, значит

$$\frac{3}{x^2+1}>0.$$

б) $$-5<0$$, а $$y^2+4>0$$ при любом $$y$$, значит

$$\frac{-5}{y^2+4}<0.$$

в) $$\left(a-1\right)^2\ge 0$$ при любом $$a$$, а $$a^2+10>0$$ при любом $$a$$, значит

$$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge 0.$$

г) $$\left(b-3\right)^2\ge 0$$ при любом $$b$$, а $$-b^2-1=-(b^2+1)<0$$ при любом $$b$$, значит

$$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le 0.$$

Ответ

а) $$\frac{a}{b}>0$$; б) $$\frac{a}{b}<0$$; в) $$\frac{a}{b}<0$$; г) $$\frac{a}{b}>0$$.

а) $$\frac{3}{x^2+1}>0$$; б) $$\frac{-5}{y^2+4}<0$$; в) $$\frac{(a-1)^2}{a^2+10}\ge 0$$; г) $$\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}\le 0$$.