Упр.168 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Выполните подстановку и упростите полученное выражение: Найдите значение выражения:

а) Подставим $$x=\frac{ab}{a+b}$$ в выражение $$\frac{x-a}{x-b}$$:

$$ \frac{x-a}{x-b} = \frac{\frac{ab}{a+b}-a}{\frac{ab}{a+b}-b} = \frac{\frac{ab-a(a+b)}{a+b}}{\frac{ab-b(a+b)}{a+b}} = \frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}} = \frac{a^2}{b^2}. $$

б) Подставим $$x=\frac{a-b}{a+b}$$ в выражение $$\frac{a}{b}-x$$ и упростим:

$$ \frac{a}{b}-x = \frac{a}{b}-\frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b)-b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{b(a+b)}. $$

Теперь найдём значение выражения:

$$ \frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{a}{b}+x} = \frac{\frac{a^2+b^2}{b(a+b)}}{\frac{a(a+b)+b(a-b)}{b(a+b)}} = \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2} = \frac{a}{b}. $$

Ответ: а) $$\frac{a^2}{b^2}$$; б) $$\frac{a}{b}$$.