Упр.165 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (n+1/n)2;
б) (a/b-b/a)2;
в) (x/y+1)2 + (x/y-1)2;
г) (p/q+q/p)2-(p/q-q/p)2. Представьте в виде отношения многочленов дробь:

а) $$\left(n+\frac{1}{n}\right)^2=n^2+2\cdot n\cdot \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}=n^2+2+\frac{1}{n^2}=\frac{n^4+2n^2+1}{n^2}=\frac{(n^2+1)^2}{n^2}.$$

б) $$\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}-2\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2}{b^2}-2+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}=\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^2}.$$

в) $$\left(\frac{x}{y}+1\right)^2+\left(\frac{x}{y}-1\right)^2=\frac{x^2+2xy+y^2}{y^2}+\frac{x^2-2xy+y^2}{y^2}=\frac{2x^2+2y^2}{y^2}=\frac{2(x^2+y^2)}{y^2}.$$

г) $$\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right)^2-\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^2$$

Используем формулу $$\left(u+v\right)^2-\left(u-v\right)^2=4uv.$$ Тогда

$$4\cdot \frac{p}{q}\cdot \frac{q}{p}=4.$$

Ответ

а) $$\frac{(n^2+1)^2}{n^2}$$; б) $$\frac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^2}$$; в) $$\frac{2(x^2+y^2)}{y^2}$$; г) $$4$$.