Упр.164 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения $$\left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)$$ является натуральным числом.
2. Упростите выражение.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)$$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}=\frac{27+n^3}{3n^2}, \qquad \frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}=\frac{9-3n+n^2}{3n^2}.$$

Тогда

$$\left(\frac{27+n^3}{3n^2}\right):\left(\frac{9-3n+n^2}{3n^2}\right) = \frac{27+n^3}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{9-3n+n^2}.$$

Разложим числитель и знаменатель:

$$27+n^3=(n+3)(n^2-3n+9),$$
$$9-3n+n^2=n^2-3n+9.$$

Сокращаем:

$$\frac{(n+3)(n^2-3n+9)}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{n^2-3n+9}=n+3.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то и $$n+3$$ — натуральное число.

Ответ

$$n+3$$