Упр.164 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right) $$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}=\frac{27+n^3}{3n^2}, \qquad \frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}=\frac{9-3n+n^2}{3n^2}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{27+n^3}{3n^2}\right):\left(\frac{9-3n+n^2}{3n^2}\right) = \frac{27+n^3}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{9-3n+n^2}. $$

Разложим числитель и знаменатель:

$$ 27+n^3=(n+3)(n^2-3n+9), $$
$$ 9-3n+n^2=n^2-3n+9. $$

Сокращаем:

$$ \frac{(n+3)(n^2-3n+9)}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{n^2-3n+9}=n+3. $$

Так как $n$ — натуральное число, то и $n+3$ — натуральное число.

Ответ

$$ n+3 $$