Упр.162 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите тождество: Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (9/n2+n/3):(3/n2-1/n+1/3) является натуральным числом. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 162 827

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right) $$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}=\frac{27+n^3}{3n^2}, \qquad \frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}=\frac{9-3n+n^2}{3n^2}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{27+n^3}{3n^2}\right):\left(\frac{9-3n+n^2}{3n^2}\right) = \frac{27+n^3}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{9-3n+n^2}. $$

Разложим числитель:

$$ 27+n^3=(n+3)(n^2-3n+9). $$

Заметим, что

$$ 9-3n+n^2=n^2-3n+9. $$

Сокращаем:

$$ \frac{(n+3)(n^2-3n+9)}{3n^2}\cdot\frac{3n^2}{n^2-3n+9}=n+3. $$

Так как $n$ — натуральное число, то и $n+3$ — натуральное число.

Ответ

$$n+3$$, натуральное число.