Упр.161 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите тождество: Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

1. $$\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)$$

   Преобразуем скобки:
   $$\frac{p}{q}-\frac{q}{p}=\frac{p^2-q^2}{pq}=\frac{(p-q)(p+q)}{pq}$$

   Тогда
   $$ \frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot\frac{(p-q)(p+q)}{pq} =\frac{2p-q}{pq}-\frac{p-q}{pq} $$
   $$ =\frac{2p-q-p+q}{pq} =\frac{p}{pq} =\frac{1}{q} $$

   Что и требовалось доказать.

2. $$\frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $$

   Раскроем скобки:
   $$ (a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab $$

   Значит,
   $$ \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} =\frac{4ab}{2(a^2-b^2)} =\frac{2ab}{a^2-b^2} $$

   Получаем:
   $$ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a^2-b^2} $$

   Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\frac{1}{q}$$
б) $$\frac{2ab}{a^2-b^2}$$