Упр.160 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: При каком значении Ь выражение 81/(0,5b + 9)2 + (0,5b — 9)2 принимает наибольшее значение? Найдите это значение. Докажите тождество:

Преобразуем выражение:

$$\frac{81}{(0,5b+9)^2+(0,5b-9)^2}=\frac{81}{0,25b^2+9b+81+0,25b^2-9b+81}=\frac{81}{0,5b^2+162}.$$

Так как $$b^2\ge 0,$$ то $$0,5b^2+162\ge 162.$$

Значит, знаменатель наименьший при $$b=0,$$ а дробь в этом случае принимает наибольшее значение:

$$\frac{81}{0,5\cdot 0^2+162}=\frac{81}{162}=\frac12.$$

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $$\frac12,$$ и достигается при $$b=0.$$

Ответ

При $$b=0$$; наибольшее значение равно $$\frac12$$.