Упр.159 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождество:

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:

$$ \left(0{,}5(a-1)^2-18\right)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right) $$
$$ 0{,}5(a-1)^2-18=\frac{(a-1)^2}{2}-18=\frac{a^2-2a+1-36}{2}=\frac{a^2-2a-35}{2} $$
$$ \frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5} =\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)} =\frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{(a-7)(a+5)} =\frac{2a^2-4a+74}{(a-7)(a+5)} $$
$$ \left(\frac{a^2-2a-35}{2}\right)\left(\frac{2a^2-4a+74}{(a-7)(a+5)}\right) = \frac{(a^2-2a-35)(a^2-2a+37)}{(a-7)(a+5)} $$
Так как
$$ a^2-2a-35=(a-7)(a+5), $$
то
$$ \frac{(a^2-2a-35)(a^2-2a+37)}{(a-7)(a+5)}=a^2-2a+37=(a-1)^2+36. $$

Поскольку $$ (a-1)^2 \ge 0 $$ при любом $$a$$, наименьшее значение выражения достигается при $$a=1$$.

б) Докажем тождество.

$$ \frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right) = \frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}\cdot\frac{p^2-q^2}{pq} $$
$$ = \frac{2p-q}{pq}-\frac{(p-q)(p+q)}{(p+q)pq} = \frac{2p-q}{pq}-\frac{p-q}{pq} $$
$$ = \frac{2p-q-p+q}{pq} = \frac{p}{pq} = \frac{1}{q}. $$
Тождество верно.

в) Докажем тождество.

$$ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $$
$$ = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{2(a^2-b^2)} = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2}. $$

$$ \frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2} = \frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)} $$
$$ = \frac{b(a+b)-(b^2-ab)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab+b^2-b^2+ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2}. $$
Следовательно,
$$ \frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}. $$
Тождество верно.