Упр.157 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение:
2. При каком значении $$a$$ выражение принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Преобразуем выражение:

$$\left(0{,}5(a-1)^2-18\right)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right)$$

$$0{,}5(a-1)^2-18=\frac{(a-1)^2}{2}-18=\frac{a^2-2a+1-36}{2}=\frac{a^2-2a-35}{2}$$

$$\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5} =\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)}$$

Тогда

$$\left(\frac{a^2-2a-35}{2}\right)\left(\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)}\right)$$

Разложим числитель первой дроби:

$$a^2-2a-35=(a-7)(a+5)$$

Сокращаем:

$$\frac{(a-7)(a+5)}{2}\cdot \frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)} =\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{2}$$

$$\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{2} =\frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{2} =\frac{2a^2-4a+74}{2} =a^2-2a+37$$

$$a^2-2a+37=(a-1)^2+36$$

Так как $$(a-1)^2 \ge 0$$, то наименьшее значение выражения достигается при $$a=1$$ и равно

$$(1-1)^2+36=36$$

Ответ

При $$a=1$$ выражение принимает наименьшее значение, равное $$36$$.