Упр.157 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение: При каком значении а выражение принимает наименьшее значение? Найдите это значение. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 157 827

Преобразуем выражение:

$$ \left(0{,}5(a-1)^2-18\right)\left(\frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5}\right) $$

$$ 0{,}5(a-1)^2-18=\frac{(a-1)^2}{2}-18=\frac{a^2-2a+1-36}{2}=\frac{a^2-2a-35}{2} $$

$$ \frac{a+5}{a-7}+\frac{a-7}{a+5} =\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)} $$

Тогда

$$ \left(\frac{a^2-2a-35}{2}\right)\left(\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)}\right) $$

Разложим числитель первой дроби:

$$ a^2-2a-35=(a-7)(a+5) $$

Сокращаем:

$$ \frac{(a-7)(a+5)}{2}\cdot \frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)} =\frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{2} $$

$$ \frac{(a+5)^2+(a-7)^2}{2} =\frac{a^2+10a+25+a^2-14a+49}{2} =\frac{2a^2-4a+74}{2} =a^2-2a+37 $$

$$ a^2-2a+37=(a-1)^2+36 $$

Так как $$ (a-1)^2 \ge 0 $$, то наименьшее значение выражения достигается при $$ a=1 $$ и равно

$$ (1-1)^2+36=36 $$

Ответ

При $$a=1$$ выражение принимает наименьшее значение, равное $$36$$.