Упр.155 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение: Упростите выражение:

1. $$\left(a^2+2a+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\right)$$

   Так как $$a^2-1=(a-1)(a+1)$$, то

   $$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1}$$

   $$=\frac{a-1+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{-1}{(a-1)(a+1)}.$$

   Тогда

   $$\left(a^2+2a+1\right)\cdot \frac{-1}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a+1)^2\cdot(-1)}{(a-1)(a+1)}=-\frac{a+1}{a-1}.$$

2. $$\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)+1$$

   $$1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x}.$$

   $$\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}=\frac{2-3x}{6x}.$$

   Тогда

   $$-\frac{(3x-2)^2}{12x}:\frac{2-3x}{6x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}=\frac{3x-2}{2}.$$

   Итак,

   $$\frac{3x-2}{2}+1=\frac{3x}{2}.$$

3. $$1-\left(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\right)\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)$$

   $$\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{8}{(a-2)(a+2)}.$$

   $$a-\frac{3a+2}{4}=\frac{4a-3a-2}{4}=\frac{a-2}{4}.$$

   Тогда

   $$1-\frac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a-2}{4}=1-\frac{2}{a+2}=\frac{a}{a+2}.$$

4. $$\left(y^2-4\right)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right)+5$$

   $$\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}=\frac{3(y-2)-2(y+2)}{(y+2)(y-2)}=\frac{y-10}{y^2-4}.$$

   Тогда

   $$\left(y^2-4\right)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}+5=y-10+5=y-5.$$

Ответ

а) $$-\frac{a+1}{a-1}$$; б) $$\frac{3x}{2}$$; в) $$\frac{a}{a+2}$$; г) $$y-5$$.