Упр.1340 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Расстояние в 360 км легковой автомобиль проехал на 2 ч быстрее, чем грузовой. Если скорость каждого автомобиля увеличить на 30 км/ч, то грузовой автомобиль затратит на весь путь на 1 ч больше, чем легковой. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть скорость легкового автомобиля равна $$x$$ км/ч, а скорость грузового — $$y$$ км/ч.

Тогда время движения легкового автомобиля равно $$\frac{360}{x}$$ ч, а грузового — $$\frac{360}{y}$$ ч.

По условию легковой автомобиль затратил на 2 ч меньше:

$$\frac{360}{y}-\frac{360}{x}=2.$$

Если увеличить скорости обоих автомобилей на 30 км/ч, то получим:

$$\frac{360}{y+30}-\frac{360}{x+30}=1.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} \frac{360}{y}-\frac{360}{x}=2,\\ \frac{360}{y+30}-\frac{360}{x+30}=1. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$xy$$:

$$360x-360y=2xy,$$

или

$$180x-180y=xy.$$

Умножим второе уравнение на $$(x+30)(y+30)$$:

$$360(x+30)-360(y+30)=(x+30)(y+30).$$

Раскроем скобки:

$$360x+10800-360y-10800=xy+30x+30y+900,$$

$$360x-360y=xy+30x+30y+900.$$

Подставим $$xy=180x-180y$$:

$$360x-360y=180x-180y+30x+30y+900,$$

$$150x-210y=900,$$

$$5x-7y=30.$$

Выразим $$x$$:

$$x=\frac{7y+30}{5}.$$

Подставим в уравнение $$180x-180y=xy$$:

$$180\cdot \frac{7y+30}{5}-180y=y\cdot \frac{7y+30}{5}.$$

Умножим на 5:

$$180(7y+30)-900y=7y^2+30y,$$

$$1260y+5400-900y=7y^2+30y,$$

$$7y^2-330y-5400=0.$$

Найдём корни:

$$D=330^2+4\cdot 7\cdot 5400=260100=510^2.$$

$$y=\frac{330\pm 510}{14}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{330-510}{14}<0,$$

$$y_2=\frac{330+510}{14}=60.$$

Значит, скорость грузового автомобиля равна $$60$$ км/ч. Тогда

$$x=\frac{7\cdot 60+30}{5}=90.$$

Ответ

$$90$$ км/ч и $$60$$ км/ч.