Упр.1336 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Вкладчик положил деньги в банк и получил через год 2220 р. Если бы вклад был на 200 р. больше, а банк выплачивал на 1% меньше, то вкладчик получил бы 2420 р. Какова была сумма вклада и какой процент выплачивал банк ежегодно? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 1336 827

Пусть $$x$$ р. — сумма вклада, а $$y\%$$ — годовой процент банка.

Тогда через год вкладчик получил:

$$x+0{,}01xy=2220.$$

Если бы вклад был на $$200$$ р. больше, а процент был бы на $$1\%$$ меньше, то сумма через год составила бы:

$$x+200+0{,}01(y-1)(x+200)=2420.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} x+0{,}01xy=2220,\\ x+200+0{,}01(y-1)(x+200)=2420. \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение:

$$ x+200+0{,}01(xy+200y-x-200)=2420 $$

$$ x+0{,}01xy-0{,}01x+2y-2220=0. $$

Подставим $$x+0{,}01xy=2220$$:

$$ 2220-0{,}01x+2y-2220=0 $$

$$ 2y-0{,}01x=0 $$

$$ x=200y. $$

Теперь подставим это в первое уравнение:

$$ 200y+0{,}01\cdot 200y\cdot y=2220 $$

$$ 200y+2y^2=2220 $$

$$ 2y^2+200y-2220=0 $$

$$ y^2+100y-1110=0. $$

Найдём корни:

$$ D=100^2+4\cdot 1110=10000+4440=14440. $$

Удобнее заметить, что уравнение можно решить через подбор: подходит $$y=11$$, так как

$$11^2+100\cdot 11-1110=121+1100-1110=0.$$

Тогда

$$x=200\cdot 11=2200.$$

Проверка:

$$2200+0{,}11\cdot 2200=2200+242=2422,$$

что не совпадает, значит при преобразовании была допущена ошибка. Решим систему аккуратно.

Из второго уравнения:

$$ x+200+0{,}01(y-1)(x+200)=2420 $$

$$ x+200+0{,}01xy+2y-0{,}01x-2=2420 $$

$$ x+0{,}01xy-0{,}01x+2y=2222. $$

Вычтем первое уравнение:

$$ (x+0{,}01xy-0{,}01x+2y)-(x+0{,}01xy)=2222-2220 $$

$$ -0{,}01x+2y=2 $$

$$ 200y-x=200 $$

$$ x=200y-200. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 200y-200+0{,}01y(200y-200)=2220 $$

$$ 200y-200+2y^2-2y=2220 $$

$$ 2y^2+198y-2420=0 $$

$$ y^2+99y-1210=0. $$

$$ D=99^2+4\cdot 1210=9801+4840=14641=121^2. $$

$$ y=\frac{-99\pm 121}{2}. $$

Получаем:

$$ y_1=-110 \quad \text{(не подходит)}, \qquad y_2=11. $$

Тогда

$$ x=200\cdot 11-200=2000. $$

Ответ

$$2000$$ р., $$11\%$$.