Упр.1331 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: От пристани отправился первый катер. Через 1 ч вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, то второй догнал бы его в 90 км от пристани. Найдите скорость каждого катера.

Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого катера, а $$y$$ км/ч — скорость второго катера.

По условию первый катер был в пути на 1 час больше, чем второй, значит:

$$\frac{30}{x}-\frac{30}{y}=1.$$

Если бы первый катер с момента отправления второго катера увеличил скорость на $$10$$ км/ч, то до встречи он прошёл бы $$90-x$$ км, а время его движения было бы $$\frac{90-x}{x+10}$$ ч. Второй катер до встречи прошёл бы $$90$$ км за $$\frac{90}{y}$$ ч. Тогда:

$$\frac{90-x}{x+10}=\frac{90}{y}.$$

Составим систему:

$$ \begin{cases} \frac{30}{x}-\frac{30}{y}=1,\\ \frac{90-x}{x+10}=\frac{90}{y}. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$xy$$, а второе — на $$y(x+10)$$:

$$ \begin{cases} 30y-30x=xy,\\ y(90-x)=90(x+10). \end{cases} $$

Приведём к виду:

$$ \begin{cases} 30y-30x-xy=0,\\ 90y-xy-90x=900. \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$ 60y-60x=900, $$
$$ y-x=15, $$
$$ y=x+15. $$

Подставим $$y=x+15$$ в первое уравнение:

$$ 30(x+15)-30x-x(x+15)=0 $$
$$ 30x+450-30x-x^2-15x=0 $$
$$ x^2+15x-450=0. $$

Найдём корни:

$$ D=15^2+4\cdot 450=225+1800=2025=45^2, $$
$$ x=\frac{-15\pm 45}{2}. $$

Получаем:

$$ x_1=-30 \quad \text{(не подходит)}, \qquad x_2=15. $$

Тогда

$$ y=x+15=15+15=30. $$

Ответ

$$15$$ км/ч и $$30$$ км/ч.