Упр.1329 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {2x^2 + 4xy — 5y = 1, x^2 + xy — 6y^2 = 0;
б) {x(3x — 2y) = y^2, 3y^2 = 2x(x + 2) — 3.

а) Из второго уравнения выразим множители:

$$ x^2+xy-6y^2=0 $$
$$ x^2+3xy-2xy-6y^2=0 $$
$$ x(x+3y)-2y(x+3y)=0 $$
$$ (x+3y)(x-2y)=0 $$

Значит, либо $$x+3y=0$$, либо $$x-2y=0$$.

1) Если $$x=-3y$$, подставим в первое уравнение:

$$ 2(-3y)^2+4y(-3y)-5y=1 $$
$$ 18y^2-12y^2-5y-1=0 $$
$$ 6y^2-5y-1=0 $$
$$ D=25+24=49 $$
$$ y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{12} $$
$$ y_1=-\frac16,\quad y_2=1 $$

Тогда:

если $$y=-\frac16$$, то $$x=-3y=\frac12$$;
если $$y=1$$, то $$x=-3y=-3$$.

2) Если $$x=2y$$, подставим в первое уравнение:

$$ 2(2y)^2+4y\cdot 2y-5y=1 $$
$$ 8y^2+8y^2-5y-1=0 $$
$$ 16y^2-5y-1=0 $$
$$ D=25+64=89 $$
$$ y_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{89}}{32} $$

Тогда:

если $$y=\frac{5-\sqrt{89}}{32}$$, то $$x=2y=\frac{5-\sqrt{89}}{16}$$;
если $$y=\frac{5+\sqrt{89}}{32}$$, то $$x=2y=\frac{5+\sqrt{89}}{16}$$.

б) Преобразуем первое уравнение:

$$ x(3x-2y)=y^2 $$
$$ 3x^2-2xy-y^2=0 $$
$$ 3x^2-3xy+xy-y^2=0 $$
$$ 3x(x-y)+y(x-y)=0 $$
$$ (x-y)(3x+y)=0 $$

Значит, либо $$x=y$$, либо $$y=-3x$$.

1) Если $$y=x$$, подставим во второе уравнение:

$$ 3x^2=2x(x+2)-3 $$
$$ 3x^2=2x^2+4x-3 $$
$$ x^2-4x+3=0 $$
$$ (x-1)(x-3)=0 $$
$$ x=1 \text{ или } x=3 $$

Тогда получаем точки $$ (1;1) $$ и $$ (3;3) $$.

2) Если $$y=-3x$$, подставим во второе уравнение:

$$ 3(-3x)^2=2x(x+2)-3 $$
$$ 27x^2=2x^2+4x-3 $$
$$ 25x^2-4x+3=0 $$
$$ D=16-300<0 $$

Корней нет.

Ответ

а) $$\left(\frac12;-\frac16\right),\ (-3;1),\ \left(\frac{5-\sqrt{89}}{16};\frac{5-\sqrt{89}}{32}\right),\ \left(\frac{5+\sqrt{89}}{16};\frac{5+\sqrt{89}}{32}\right)$$;
б) $$(1;1),\ (3;3).$$