Упр.1328 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

{xy = -2, (x — y)^2 + x + y = 10.

Обозначим $$x+y=a,$$ $$xy=b.$$ Тогда

$$ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x+y)^2-4xy=a^2-4b. $$

Второе уравнение системы примет вид

$$ a^2-4b+a=10. $$

Так как $$xy=-2,$$ то $$b=-2.$$ Подставим:

$$ a^2-4(-2)+a=10 $$
$$ a^2+a+8=10 $$
$$ a^2+a-2=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ a^2+a-2=0 $$
$$ (a+2)(a-1)=0. $$

Отсюда $$a=-2$$ или $$a=1.$$ Значит,

$$ x+y=-2 \quad \text{или} \quad x+y=1. $$

1) Если $$x+y=-2,$$ то $$y=-x-2.$$ Подставим в первое уравнение:

$$ x(-x-2)=-2 $$
$$ x^2+2x-2=0. $$

Тогда

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12, $$
$$ x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}. $$

Найдём $$y$$:

$$ y=-x-2. $$

При $$x=-1-\sqrt{3}$$ получаем $$y=-1+\sqrt{3}.$$
При $$x=-1+\sqrt{3}$$ получаем $$y=-1-\sqrt{3}.$$

2) Если $$x+y=1,$$ то $$y=-x+1.$$ Подставим в первое уравнение:

$$ x(-x+1)=-2 $$
$$ x^2-x-2=0 $$
$$ (x-2)(x+1)=0. $$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1.$$ Тогда

при $$x=2$$ имеем $$y=-1,$$
при $$x=-1$$ имеем $$y=2.$$

Ответ

$$( -1-\sqrt{3};\,-1+\sqrt{3}),\;(-1+\sqrt{3};\,-1-\sqrt{3}),\;(-1;\,2),\;(2;\,-1).$$