Упр.1327 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {7xy + 2x^2 — 4y^2 = 0, x^2 — 5xy + y = -11;
б) {6x^2 + 2xy — 3x — y = 0, 2x^2 — y^2 + 2x + y = 3/2.

а)

Преобразуем первое уравнение:

$$7xy+2x^2-4y^2=0$$

$$2x^2+8xy-xy-4y^2=0$$

$$2x(x+4y)-y(x+4y)=0$$

$$ (x+4y)(2x-y)=0 $$

Отсюда:

$$x+4y=0 \quad \text{или} \quad 2x-y=0.$$

1) Если $$x=-4y,$$ подставим во второе уравнение:

$$(-4y)^2-5y\cdot(-4y)+y=-11$$

$$16y^2+20y^2+y+11=0$$

$$36y^2+y+11=0.$$

Дискриминант:

$$D=1-4\cdot 36\cdot 11<0,$$

значит, действительных корней нет.

2) Если $$y=2x,$$ подставим во второе уравнение:

$$x^2-5x\cdot 2x+2x=-11$$

$$x^2-10x^2+2x+11=0$$

$$9x^2-2x-11=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-2)^2-4\cdot 9\cdot(-11)=4+396=400.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 20}{18}.$$

Получаем:

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{11}{9}.$$

Если $$x=-1,$$ то $$y=2x=-2.$$

Если $$x=\frac{11}{9},$$ то $$y=2x=\frac{22}{9}.$$

б)

Преобразуем первое уравнение:

$$6x^2+2xy-3x-y=0$$

$$2x(3x+y)-(3x+y)=0$$

$$ (3x+y)(2x-1)=0.$$

Отсюда:

$$3x+y=0 \quad \text{или} \quad 2x-1=0.$$

1) Если $$y=-3x,$$ подставим во второе уравнение:

$$2x^2-(-3x)^2+2x+(-3x)=\frac{3}{2}$$

$$2x^2-9x^2+2x-3x=\frac{3}{2}$$

$$-7x^2-x-\frac{3}{2}=0.$$

Умножим на $$-2$$:

$$14x^2+2x+3=0.$$

Дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 14\cdot 3<0,$$

значит, решений нет.

2) Если $$2x-1=0,$$ то $$x=\frac12.$$ Подставим во второе уравнение:

$$2\cdot \left(\frac12\right)^2-y^2+2\cdot \frac12+y=\frac32$$

$$\frac12-y^2+1+y-\frac32=0$$

$$-y^2+y=0$$

$$y(y-1)=0.$$

Следовательно, $$y=0$$ или $$y=1.$$

Ответ

а) $$(-1;\,-2),\ \left(\frac{11}{9};\frac{22}{9}\right).$$

б) $$\left(\frac12;\,0\right),\ \left(\frac12;\,1\right).$$