Упр.1326 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {x^2 — 3y^2 — y = -6, 2x^2 — 3y^2 = -4;
б) {2x^2 + xy = 16, 3x^2 + xy — x = 18.

а) Из второго уравнения выразим $$x^2$$:

$$2x^2-3y^2=-4$$
$$2x^2=3y^2-4$$
$$x^2=\frac{3y^2-4}{2}.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\frac{3y^2-4}{2}-3y^2-y=-6$$
$$3y^2-4-6y^2-2y=-12$$
$$3y^2+2y-8=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-8)=4+96=100.$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{6}.$$

$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac{4}{3}.$$

Если $$y=-2$$, то

$$2x^2-3\cdot(-2)^2=-4$$
$$2x^2-12=-4$$
$$2x^2=8$$
$$x^2=4,$$

откуда $$x=\pm 2.$$

Если $$y=\frac{4}{3}$$, то

$$2x^2-3\left(\frac{4}{3}\right)^2=-4$$
$$2x^2-\frac{16}{3}=-4$$
$$2x^2=\frac{4}{3}$$
$$x^2=\frac{2}{3},$$

откуда $$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Следовательно, решения системы:

$$(-2;\,-2),\ (2;\,-2),\ \left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\,\frac{4}{3}\right),\ \left(\sqrt{\frac{2}{3}};\,\frac{4}{3}\right).$$

б) Из первого и второго уравнений выразим $$xy$$:

$$2x^2+xy=16 \Rightarrow xy=16-2x^2,$$

$$3x^2+xy-x=18 \Rightarrow xy=18-3x^2+x.$$

Приравняем:

$$16-2x^2=18-3x^2+x$$
$$x^2-x-2=0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1.$$

Если $$x=2$$, то

$$2\cdot 2^2+2y=16$$
$$8+2y=16$$
$$2y=8$$
$$y=4.$$

Если $$x=-1$$, то

$$2\cdot(-1)^2- y=16$$
$$2-y=16$$
$$y=-14.$$

Следовательно, решения системы:

$$(-1;\,-14),\ (2;\,4).$$

Ответ

а) $$(-2;\,-2),\ (2;\,-2),\ \left(-\sqrt{\frac{2}{3}};\,\frac{4}{3}\right),\ \left(\sqrt{\frac{2}{3}};\,\frac{4}{3}\right);$$ б) $$(-1;\,-14),\ (2;\,4).$$