Упр.1325 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {2/(y — 1) + 3/(x + 1) = 5/2, 1/(x — 2) = -3/y;
б) {1/(y + 1) = 2/(x — 1), 4/(x + 2) + 1/(y — 1) = 1/3.

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$\frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y} \;\Rightarrow\; y=-3(x-2).$$

ОДЗ: $$y\ne 0,\; y\ne 1,\; x\ne 2,\; x\ne -1.$$

Подставим $$y=-3(x-2)$$ в первое уравнение:

$$\frac{2}{-3(x-2)-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}$$

$$\frac{2}{5-3x}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2(5-3x)(x+1)$$:

$$4(x+1)+6(5-3x)=5(5-3x)(x+1)$$

$$4x+4+30-18x=5(5x+5-3x^2-3x)$$

$$34-14x=5(-3x^2+2x+5)$$

$$34-14x=-15x^2+10x+25$$

$$15x^2-24x+9=0$$

$$5x^2-8x+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=64-60=4,$$

$$x=\frac{8\pm 2}{10}.$$

Отсюда $$x_1=\frac{3}{5},\; x_2=1.$$

При $$x=\frac{3}{5}$$:

$$y=-3\left(\frac{3}{5}-2\right)=\frac{21}{5}.$$

При $$x=1$$:

$$y=-3(1-2)=3.$$

Получаем решения: $$\left(\frac{3}{5};\frac{21}{5}\right)$$ и $$\left(1;3\right).$$

б) Из первого уравнения:

$$\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1}\;\Rightarrow\; x-1=2(y+1),$$

$$x=2y+3.$$

ОДЗ: $$y\ne -1,\; x\ne 1,\; x\ne -2,\; y\ne 1.$$

Подставим $$x=2y+3$$ во второе уравнение:

$$\frac{4}{2y+5}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}.$$

Умножим на $$3(2y+5)(y-1)$$:

$$12(y-1)+3(2y+5)=(2y+5)(y-1)$$

$$12y-12+6y+15=2y^2+3y-5$$

$$18y+3=2y^2+3y-5$$

$$2y^2-15y-8=0.$$

Найдём корни:

$$D=225+64=289=17^2,$$

$$y=\frac{15\pm 17}{4}.$$

Тогда $$y_1=-\frac{1}{2},\; y_2=8.$$

При $$y=-\frac{1}{2}$$:

$$x=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3=2.$$

При $$y=8$$:

$$x=2\cdot 8+3=19.$$

Получаем решения: $$\left(2;-\frac{1}{2}\right)$$ и $$\left(19;8\right).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{3}{5};\frac{21}{5}\right),\; (1;3).$$

б) $$\left(2;-\frac{1}{2}\right),\; (19;8).$$