Упр.1323 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите графическим способом систему уравнений:
   а) $$\begin{cases} y-x^2=-1,\\ y-2x=1; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} xy-1=0,\\ y+x^2=3. \end{cases}$$

а) Преобразуем уравнения системы к виду функций:

$$\begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+1. \end{cases}$$

Точки пересечения графиков найдём из равенства правых частей:

$$x^2-1=2x+1$$

$$x^2-2x-2=0$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}.$$

Тогда

$$y=2x+1.$$

При $$x=1-\sqrt{3}$$ получаем $$y=3-2\sqrt{3}$$, при $$x=1+\sqrt{3}$$ получаем $$y=3+2\sqrt{3}$$.

Графически это соответствует двум точкам пересечения, поэтому

$$x\approx -0{,}7 \quad \text{и} \quad x\approx 2{,}7.$$

б) Преобразуем систему:

$$\begin{cases} xy-1=0,\\ y+x^2=3. \end{cases}$$

Отсюда

$$y=\frac{1}{x}, \qquad y=-x^2+3.$$

Точки пересечения найдём из уравнения

$$\frac{1}{x}=-x^2+3.$$

Умножим на $$x$$, учитывая, что $$x\neq 0$$:

$$1=-x^3+3x$$

$$x^3-3x+1=0.$$

Графически видно три точки пересечения, поэтому решения системы:

$$x\approx -1{,}9,\quad x\approx 0{,}3,\quad x\approx 1{,}6.$$

Ответ

а) $$x\approx -0{,}7,\; x\approx 2{,}7.$$

б) $$x\approx -1{,}9,\; x\approx 0{,}3,\; x\approx 1{,}6.$$