Упр.1321 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

{x(x — 2) = y + 12x, xy — 5 = 0?

Подробный ответ

Преобразуем систему:

$$ \begin{cases} x(x-2)=y+12x,\\ xy-5=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=x^2-14x,\\ y=\dfrac{5}{x} \end{cases} $$

Нужно найти число точек пересечения параболы $$y=x^2-14x$$ и гиперболы $$y=\dfrac{5}{x}$$.

Парабола $$y=x^2-14x$$ ветвями направлена вверх. Её вершина:

$$ x_0=\frac{14}{2}=7,\qquad y_0=7^2-14\cdot 7=49-98=-49. $$

Нули параболы:

$$ x^2-14x=0 \Rightarrow x(x-14)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=14. $$

Гипербола $$y=\dfrac{5}{x}$$ расположена в первой и третьей координатных четвертях, так как $$5>0$$.

При $$x>0$$ парабола имеет минимум $$-49$$, а гипербола в первой четверти положительна. Поэтому графики могут пересечься только в одной точке в первой четверти.